近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善，各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视。特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题，归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。所以无论在理论研究方面，还是在实际应用中，非线性方程的求解都占有非常重要的地位。 本文由两大部分组成，分为六章。 从第一章到第四章为第一部分。 第一章 在各种收敛性判据下讨论Hansen和Patrick迭代族的半局部收敛性，建立了相应的收敛性定理； 第二章 讨论Hansen和Patrick迭代法的种种变形，以适应实际应用的需要； 第三章 深入地讨论了弦截法的局部收敛性，比较了在各种收敛性定理中弦截法的收敛球半径，建立了具有最大收敛球半径的弦截法收敛性定理； 第四章 应用离散动力系统的观点讨论了一族带参数迭代法的整体行为，并且给出了定常弦截法的某些动力行为和性质。 从第五章到第六章为第二部分。 第五章 从计算效能的角度来讨论奇异摄动问题的求解，构造了简洁和方便的直接求解法； 第六章 讨论奇异摄动问题的有限差分数值方法。分别在Bakhvalov-Shishkin网格和修正Bakhvalov-Shishkin网格两种特殊的加密网格上构造相应的差分格式，得到关于摄动参数ε一致收敛的离散数值解。