本文的主要研究是，关于半线性微分方程的数值解法。首先是关于课题的背景与研究意义，以及对指数积分方法求解半线性微分方程的历史回顾，与对计算矩阵指数算法的回顾。通过回顾了配置型的指数Runge-Kutta方法，并分析一般配置型指数Runge-Kutta的三个误差源，建立了有理指数Runge-Kutta方法。其次，给出了对显格式有理指数Runge-Kutta方法的收敛性分析，并给出了对显格式方法的收敛性定理；在数值求解具有收缩性的半线性微分方程，推导了显格式的有理指数Runge-Kutta数值格式的收缩性判定函数，进而给出了显格式方法的收缩性判定定理；通过引入实验方程，分别对常用的2级2阶，3级3阶，5级4阶的显格式的有理指数Runge-Kutta方法，给出了稳定性函数，并使用Python2.7.6分别对它们进行了可视化，并证明了显格式有理指数Runge-Kutta方法的稳定性区域始终是非空的。最后，对有理指数Runge-Kutta方法的收缩性与收敛阶做了数值验证，给出了使用有理指数Runge-Kutta方法进行数值求解的半线性微分方程的两种预处理方法，分别是Fourier谱方法预处理半线性微分方程，与Chebyshev谱方法预处理半线性微分方程。并对常见的半线性微分方程，如Schro¨dinger方程，一维与二维的Allen-Cahn方程，KdV方程，Burgers方程，Kuramoto-Sivashinsky方程，Sine-Gordon方程，通过显格式有理指数Runge-Kutta方法进行了数值计算。