【摘 要】
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3-流形拓扑理论是低维拓扑学的一个重要分支.从3-流形的组合结构出发,通过3-流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可压缩曲面、本质球面以及正则曲面等),把复杂的几何对象化
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3-流形拓扑理论是低维拓扑学的一个重要分支.从3-流形的组合结构出发,通过3-流形中的一些曲面(如Heegaard曲面、不可压缩曲面、本质球面以及正则曲面等),把复杂的几何对象化解为若干简单对象进行研究,进而了解3-流形的拓扑性质和几何结构,这是研究3-流形的重要方法.本文主要讨论3-流形的D-分解、SD-分解和Heegaard分解中的若干问题,通过对曲面与I的乘积和压缩体的D-亏格、SD-亏格,柄体的最小SD-分解的唯一性及3-流形的2亏格Heegaard分解中Haken球面的相关性等问题的研究,给出了一些3-流形及其中一些曲面的若干拓扑性质. 本文的主要工作总结如下: 1.给出了有1亏格D-分解和SD-分解的带边3-流形的特征描述;证明了柄体的SD-亏格与其本身的亏格相同;给出了曲面与I的乘积及压缩体的D-亏格、SD-亏格的计算公式;给出了3-流形的内1亏格SD-分解的弱可约与可约的关系;证明了柄体的最小SD-分解的唯一性,通过给出例子说明柄体的最小D-分解不是唯一的. 2.对亏格为2的可约Heegaard分解中Haken球面的相关性进行了深入和系统的研究,描述了当一个因子是S3的亏格为1的Heegaard分解（如透镜空间、S2× S1的亏格为2的Heegaard分解）时两个Haken球面是如何相关的,从而完成了亏格为2的可约Heegaard分解所有情况下Haken球面相关性的刻划. 3.给出了两个3-流形的融合有不可压缩边界的一个充分条件以及两个3-流形的融合是不可约的一个充分条件.该结果是若干已知结果的推广.
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