逾渗模型作为一种简单而实用的物理模型,广泛应用于物理、化学、生物、材料以及工程中。以颗粒材料为例,复杂几何离散颗粒的重构、颗粒多相材料内部微观结构的表征、颗粒材料内部的扩散以及反常扩散行为,都可以通过构建合适的逾渗模型进行研究。蒙特卡洛方法是研究逾渗模型的一种常用方法,针对不同类型的逾渗模型,很多高效的算法相继被研究人员提出。本文将在逾渗模型的基础上,使用蒙特卡洛方法研究最大孔洞的分布以及孔洞内的随机过程,本文将内容分为以下五个部分:第一部分,简单介绍了相变与临界现象的一些基本概念、经典统计物理模型、以及逾渗理论在材料科学中的相关应用。第二部分,介绍了蒙特卡洛模拟的基本原理和一些常用的模拟算法。第三部分,本文模拟了二维周期性正方格子上的键逾渗,研究了最大集团、最大集团里的最大孔洞、最大骨干集团和最大骨干集团中的最大孔洞的大小分布。在临界点附近的临界区内,可以通过这些大小分布的偏度和峰度来定位准临界点;针对它们的大小分布特征,我们发现不同缠绕类型的集团或孔洞对总的分布有不同的贡献;由于最大孔洞的对偶性,它的总分布或不同缠绕类型孔洞的子分布在临界点附近具有良好的对称性;除此之外,这些大小分布函数在临界点具有普适性,并且它们的分布可以近似通过一个高斯函数和两个耿贝尔函数进行描述。第四部分,本文还研究了孔洞中的随机过程,包括孔洞内的逾渗过程,随机行走和自规避随机行走。特别是随机行走,我们研究了最大集团、最大集团孔洞、最大骨干集团和最大骨干集团孔洞上的随机行走,类似于粒子在不同分形结构条件下的扩散过程,根据行走距离与时间的幂律关系<R2>～t～2vRW,得到了随机行走指数vRW的变化趋势;而对于孔洞内的逾渗过程或自规避随机行走,近似确定了自规避随机行走长度与系统尺寸的标度关系。最后,我们对本文内容做了一个总结,并对未来的研究做了展望。