【摘 要】
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在本文中,我们研究了二次剩余集合的加法分解,ε-调和数以及加性表示函数.具体工作如下:一、加法分解的Sarkozy猜想对于素数p,用Rp表示模p的所有二次剩余组成的集合.若存在集合A1,…,Ak且|A1|,…,|Ak|≥2,使得Rp=A1+…+Ak,则称Rp=A1+…+Ak为Rp的k-加法分解.2012年,Sarkozy[40]猜想:对充分大的素数p,都不存在Rp的2-加法分解.同时,他证明了:对
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在本文中,我们研究了二次剩余集合的加法分解,ε-调和数以及加性表示函数.具体工作如下:一、加法分解的Sarkozy猜想对于素数p,用Rp表示模p的所有二次剩余组成的集合.若存在集合A1,…,Ak且|A1|,…,|Ak|≥2,使得Rp=A1+…+Ak,则称Rp=A1+…+Ak为Rp的k-加法分解.2012年,Sarkozy[40]猜想:对充分大的素数p,都不存在Rp的2-加法分解.同时,他证明了:对充分大的素数p,若Rp=U+V为Rp的2-加法分解,则#122014 年,Shkredov[45]证明了:（?）在第一章中,对任何素数p,我们进一步改进了|U|和|V|的上下界:（1）对任何素数p,若Rp=U+V为Rp的2-加法分解,则（?）（2）对任何素数p>5381,都不存在Rp的3-加法分解.（3）对所有素数p,都不存在Rp的4-加法分解.二、ε-调和数对任意正整数n以及任意整数序列ε={εi}i=1∞,令Hn,ε-=ε1/1+ε2/2+…+εn/n=an,ε/bn,ε（an,ε,bn,ε）=1,bn,ε>0.Hn,ε被称作第n个ε-调和数.2019年,Wu和Chen[53]提出如下问题:对于序列ε={εi}i=1∞,εi∈{1,-1}（i=1,2,…）,满足bn,ε=bn+1,ε的所有正整数n构成的集合的渐近密度是否为1?在第二章中,我们证明了:若ε={εi}i1∞为一个纯循环序列,εi∈{1,-1}（i=1,2,…）,则满足bn,ε=bn+1,ε的所有正整数n构成的集合的渐近密度为1.若所有εi=1,则第n个ε-调和数记作Hn,其分子分母分别记作un,vn.显然,vp（Hn）≥-vp（vn）≥-[logp n].满足 vp（Hn）=-[lgpn]+k的所有正整数n构成的集合记作Tp（k）.2017年,Wu和Chen[51]给出了Tp（0）的对数密度公式.在第二章中,我们给出了所有Tp（k）k≥ 1)的对数密度公式.令Jp表示满足p|un的所有正整数n构成的集合.Eswarathasan和Levine[18]猜想:对每个素数p,Jp都是有限集.若猜想成立,则由我们给出的Tp（k）的对数密度公式知,对充分大的整数k,Tp（k）的对数密度都为0.三、加性表示函数设A为非负整数集,n为非负整数,R1（A,n）,R2（A,n）,R3（A,n）分别表示a+a’=n,a,a’∈A;a+a’=n,a,a’∈A,a<a’和a’和 a+a’=n,a,a’∈A,a≤a’的解数.Sarkozy曾提出问题:对每个i∈{1,2,3},是否存在非负整数集合A,B,使得|（A ∪ B）\（A n B）|=∞且Ri（A,n）=Ri（B,n）对所有充分大的整数n成立?我们称这个问题为Sarkozy问题.由于Sarkozy问题对i=1的答案是否定的,在第三章中,我们给出了满足AUB=N,A∩B=（?）的集合A和B,使得|R1（A,n）-R1（B,n）|≤1对所有非负整数n成立的充要条件.该成果发表在Bull.Aust.Math.Soc.上.2008年,Tang[48]提出问题:能否将N划分为k（≥3）个两两不交的集合A1,…,Ak的并,使得R3（A1,n）=…=R3（Ak,n）对所有充分大的整数n成立?在第三章中,我们证明了:对于这样的划分,总存在整数n≥ 2k,使得R3（A1,n）=…=R3（Ak,n）不成立.该成果发表在 Int.J.Number Theory 上.此外,我们还改进了 Kiss和Sandor[31]关于表示函数的一个结果,并且得到最好的阶.该成果发表在Pub1.Math.Debrecen上.
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