图论的研究始于200多年前.关于图论的第一篇论文是1736年Euler发表的，他用图的方法解决了哥尼斯堡（Konigsberg）七桥问题.二十世纪六十年代以来，图论在科学界异军突起，活跃非凡.图论中有很多著名的问题，如哈密尔顿问题，四色问题，中国邮递员问题等.并且，应用图论来解决化学，计算机科学，生物学等学科问题已显示出极大的优越性.图论作为离散数学的一个重要分支，受到了各方面的普遍重视. 本文考虑简单有限图。这些图不包含环以及重边.设G表示一个简单图.哈密尔顿圈问题是图论中非常著名的问题之一.图中过每个顶点的圈，称为图的哈密尔顿圈.图的哈密尔顿圈问题，是图论中的一个非常著名的问题.图G中的k-因子指的是图G中的k-正则子图，这里k是一个正整数。关于k-因子的存在性，应用Tutte的定理，人们得到了许多有意义的结果，然而，在本论文中，我们主要关注2-因子的存在性.显然，一个哈密尔顿圈可以被看成是仅有一个分支的2-因子.因此，对于给定的图，找到2-因子存在性的条件是很困难的过程.常用的技巧是先找出一个顶点数目极小的包装，然后扩充成为2-因子. 本文研究了图论中的几个问题，具体地，我们研究了包含哈密尔顿圈的k-因子存在性问题，图G中相互独立的子图（特别是圈）以及2-因子的存在性条件.上述问题可以概括地描述如下：设F是具有给定结构的连通子图，k是一个正整数，保证顶点数目满足|V（G）|≥k|V（F）|的图G中包含k个点不相交的F存在的最小度条件或者不邻接的最小度和条件是多少?上述问题是极值图论中的很基本的问题.对于非完全图G，定义σ2（G）：=min{dG（x）+dG（y）|xy（）E（G）}；如果G是一个完全图，令σ2（G）：=∞.全文共分为八章.第一章，我们给出了一个简短而又相对完整的引言.首先，我们给出了一些基本的术语和定义.然后，我们介绍了2-因子理论及独立圈理论的背景和进展.最后，我们列出了本文的主要结果. 在第二章，我们给出了包含哈密尔顿圈的k-因子的度条件.设k为满足k≥2的正整数，并且设图G的定点数目n足够大.如果kn为偶数，图G中的最小度至少为k并且max{dG（x），dG（y）}≥（n+a）/2对每一对不相邻接的x和y都成立，这里，当k为奇数时，a=3当k为偶数时，a=4.我们证明了图G中存在一个k-因子（亦即k-正则子图）包含任意给定的哈密尔顿圈C，只要G-E（C）是连通的。通过构造例子，我们同时说明了度条件是最好可能的以及连通条件是必须的。 在第三章，我们考虑二分图G中存在2-因子的度条件使得2-因子的每一个分支为长为4的圈并且刚好包含一个指定的顶点.首先，我们找到了二分图G的一个包装，使得每一个分支或者为长为4的圈，或者为长为6的圈，然后我们把包装拓展为需要的2-因子.我们的主要结果如下：设k是一个正整数并且G=（V1，V2；E）是一个二分图，其中|V1|=|V2|=n≥2k+2.如果dG（x）+dG（y）≥|4n+k/3|对于每一对顶点x∈V1和y∈V2都成立，则对于图G中任意的k个不相同顶点z1，….，zk，图G中存在一个2-因子包含k+1个相互独立的圈C1，…，Ck+1，使得对于每一个i∈{1，…，k}，zi∈V（Ci）并且|Ci|=4. 在第四章，我们探索存在2-因子存在的σ2（G）条件，使得2-因子每一个分支为带弦的4圈.事实上，我们证明了如果图G的阶数n≥4k+3并且σ2（G）≥n+k则G中存在2-因子包含k+1个相互独立的圈C1，…，Ck+1，使得对于每一个fi∈{1，…，k-1}，Ci为带弦的4圈且|Ck|≤4.紧接着，我们证明了如果图G的阶数n>4k并且σ2（G）≥，n+k，则G存在2-因子包含k个相互独立的圈使得其中的k-1个为带弦的4圈.与此同时，我们证明了阶数条件以及σ2（G）条件都是最好可能的。 在第五章，我们考虑了关于相互独立的三角形和四边形的包装问题.对于阶数n≥3s+4（k-s）图G，其中s是两个正整数k使得1≤s≤k，我们证明了如果σ2（G）≥n+s，则图G包含足个相互独立的圈C1，…，Ck，使得对于1≤i≤s，|Ci|=3；对于s