随着人工智能及大数据的迅速发展,图像处理问题得到了越来越多的关注和研究。目前,图像处理技术已被广泛应用于临床医学、遥感、刑侦等领域。在图像的诸多特征中,纹理是一个重要而又难以描述的特性。由于纹理的非局部性以及自相似性与分数阶导数的性质相吻合,基于分数阶偏微分方程的纹理图像处理模型应运而生。遗憾的是,大多数分数阶微分方程的解析解中都含有特殊函数或复杂的级数。因此,对这类方程的数值求解的研究变得尤为重要。分数阶导数的非局部性使得这类方程的数值离散更加复杂,因此,研究构造用于求解分数阶偏微分方程的高效算法是一项非常紧迫且有意义的工作。本文研究分数阶偏微分方程的高效数值算法设计以及纹理图像处理中的分数阶建模。主要研究内容如下:针对一类时间分数阶对流扩散方程的初边值问题,利用变量替换,消除原有方程中的对流项,将原问题转化为时间分数阶扩散波动方程。为了构造高效数值计算格式,在空间方向上采用高阶紧格式进行数值离散,时间方向采用交替方向隐式差分法进行格式构造。该数值方法将高维问题分解为若干一维问题进行求解,有效提升了计算效率。构造新的离散范数,进而利用离散格林公式,证明了格式的无条件稳定性及收敛性。最后,通过算例验证了理论分析的正确性以及数值求解的高效性。针对图像超分辨率重建问题,由于图像下采样及模糊过程会破坏大量的图像纹理细节,传统的基于有界变差函数空间的变分模型无法有效重建出纹理信息。本文提出利用分数阶有界变差函数空间对图像纹理特征进行建模,进而建立基于分数阶导数的变分模型对图像进行超分辨率重建。应用非线性分析相关理论证明了所提出的能量泛函极值点的存在性。数值模拟方面,采用标量辅助变量法对模型进行有效求解。该算法具有无条件稳定性,格式构造简单,计算效率高的特点。为了进一步提高计算效率,本文提出一种时间步长自适应的迭代更新准则,有效减少了迭代次数。数值试验结果表明,与其他几种方法相比,本文方法在重建图像的纹理信息以及计算效率方面,均表现出明显的优势。针对图像斑点噪声去除问题,由于斑点噪声严重损坏图像的纹理信息,使得斑点抑制过程中的纹理保护十分困难。因此,本文基于图像纹理与分数阶微积分算子的内在联系,在分数阶扩散方程的框架下,设计合理有效的斑点噪声抑制模型,同时实现对图像纹理细节的有效保护。在扩散系数中引入灰度探测算子,使扩散行为受到灰度值影响,从而保护低灰度值区域的图像特征。理论上,应用Stampacchia’s截断法论证了方程的极值原理。算法上,分别设计了基于离散傅里叶变换的频域算法以及基于分数阶差商的空间域算法。利用斑点噪声的统计信息,提出了一种新的迭代停止条件。实验结果表明,模型在有效去除噪声的同时更好地保护了图像的纹理信息以及低灰度信息。针对图像去模糊问题,提出了一种基于分数阶扩散方程的去模糊方法。为了在去模糊的同时充分恢复图像的纹理细节,本文从分数阶扩散方程的角度出发,合理设计方程的扩散项和源项。利用勒贝格控制收敛定理,证明了当平衡参数充分大时,恢复效果趋近于真实图像。基于分数阶差商的定义,设计有限差分格式对方程进行数值求解。对比实验结果表明,该模型在有效去模糊的同时,对图像纹理的恢复更充分。此外,区别于其他方法,本文方法处理对象不限于具有对称性的模糊核,因此适用范围更广。