【摘 要】
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本文研究生物演化模型中两类非局部偏微分方程的数值求解方法.这类积分微分方程描述与连续特征有关的种群进化.本文提出的数值方法能捕获解的大时间动力学行为.主要内容如下:（1）对于直接竞争模型,利用有限体积型逼近给出这类模型的半离散和全离散数值格式.通过说明寻找离散ESD（演化稳态分布,Evolutionary Stable Distribution）问题与求解相应二次规划问题的等价性,证明离散ESD的
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本文研究生物演化模型中两类非局部偏微分方程的数值求解方法.这类积分微分方程描述与连续特征有关的种群进化.本文提出的数值方法能捕获解的大时间动力学行为.主要内容如下:（1）对于直接竞争模型,利用有限体积型逼近给出这类模型的半离散和全离散数值格式.通过说明寻找离散ESD（演化稳态分布,Evolutionary Stable Distribution）问题与求解相应二次规划问题的等价性,证明离散ESD的存在唯一性.进而通过建立的二次规划求解器计算ESD.在离散系数和时间步长的合适条件下,证明半离散和全离散格式保持数值解的正性和熵递减性质.对于一般的非负初值,为了得到数值解到全局ESD的收敛性,提出一种带突变机制的修正数值格式.将所得的所有一维结果推广到多维情形.一维和二维的数值实验展示数值格式的准确性、熵递减性和捕捉数值解大时间渐近行为的有效性.（2）对提出的半离散和全离散数值格式,研究数值解到ESD的各种时间渐近收敛速度.对于具有严格符号条件的ESD,利用依赖严格ESD的加权对称化和Lyapunov泛函的方法得到扰动的指数衰减性,在此过程中,为了得到最大可能选取的初始扰动,使用待定参数表示Lyapunov泛函的一个系数.然后利用一个修正估计得到扰动的最优指数收敛速度.使用这种思想,证明了半离散和全离散格式的数值解指数收敛到这类ESD.对于一般的ESD,通过建立相对熵的耗散不等式以及耗散速度的递减性质,证明了全离散格式的数值解代数收敛,收敛速度与已有关于连续模型得到的结果一致.（3）对于具有梯度流结构的选择突变方程,设计、分析和数值实施了能量耗散的有限体积格式.通过证明离散正平衡态和相应离散能量函数的极小点相同,得到离散正平衡态的存在唯一性.进而根据建立的非线性规划求解器计算正平衡态.证明半离散和全离散格式满足数值解的正性和能量耗散性.这些性质保证了唯一正平衡态的渐近稳定性.一系列数值试验展示选择突变模型数值格式的准确性、能量递减性以及解的大时间渐近性.
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