【摘 要】
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本文,我们构造了求解双曲守恒律问题的高效加权本质无振荡（Weighted Es-sentially Non-Oscillatory,WENO）型格式,包括 Hermite WENO（HWENO）和杂交WENO格式,并将它们应用于多介质流问题的模拟.主要研究成果为:一、构造了两类杂交有限体积HWENO格式.不同于其他HWENO格式,其首次采用间断有限元方法限制器的思想,使用HWENO方法修正了数值解
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本文,我们构造了求解双曲守恒律问题的高效加权本质无振荡（Weighted Es-sentially Non-Oscillatory,WENO）型格式,包括 Hermite WENO（HWENO）和杂交WENO格式,并将它们应用于多介质流问题的模拟.主要研究成果为:一、构造了两类杂交有限体积HWENO格式.不同于其他HWENO格式,其首次采用间断有限元方法限制器的思想,使用HWENO方法修正了数值解在间断附近的一阶矩,并在解的连续区域直接使用线性近似.其主要优势在于:1.修正一阶矩能够更好地抑制振荡,增强了格式的稳健性;2.提高了格式的计算效率.针对HWENO重构,采用了两类不同的方法,其中第一类方法需要根据网格和重构点计算线性权,而第二类方法的线性权可以任取和为一的正数.相比第一类方法,第二类方法在二维情形下使用了更少的候选模板却具有更高的精度.二、构造了一类杂交有限差分WENO格式.该格式根据重构多项式极值点的位置自动地选取WENO重构或线性近似,并使用了一类线性权可任取和为一正数的新型WENO重构方法.其主要优势在于:1.相比原WENO格式,它具有更高的计算效率;2.它具有强稳健性,即使在不添加额外的保正技术情形下,其仍然可以模拟一些极端算例.三、构造了一类修正有限差分HWENO格式.该格式首先使用HWENO插值修正了数值解的导数值,然后使用HWENO方法重构数值流通量.相比最初始的有限差分HWENO格式,其主要优势在于:1.它可以使用更大的CFL数且不需要使用额外的保正技术;2.它在二维情形下使用了相同的模板和信息却具有更高的精度.四、首次将HWENO方法应用于多介质流问题的模拟.该方法首先利用修正虚拟流体方法将一个多介质流问题转化为多个单介质流问题,然后使用稳健且高效的有限差分HWENO格式求解这些单介质流问题.相比经典的WENO方法,该方法定义了更少的虚拟点和边界点.最后,数值实验验证了这些WENO和HWENO格式的稳健性和高效性,并且相比同阶精度的WENO格式,这些HWENO格式具有更紧致的重构模板、更小的数值误差和更高的分辨率.
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