关于数论中一些著名和式的均值分布问题一直是数论研究的核心内容.算术函数中的特征和、Dedekind和、Kloosterman和、Gauss和有着悠久的历史和非常丰富的内容,它们之间也存在密切的联系.近年来,国内外不少学者对这些问题进行了深入的研究,并获得了不少具有重要理论价值的研究成果.这无疑对数论领域的发展起到了举足轻重的作用.基于对以上问题的兴趣,本文主要研究了解析数论中经典和式的算术性质和组合数论中特殊整数Fibonacci数与Lucas数的恒等性质,综合运用初等方法和解析方法得到了令人较为满意的结果；另外,本文还研究了一个丢番图方程及其它的整数解和一个新的可加函数与Smarandache数列的均值性质.具体来说,本文的主要成果包括以下几方面：1.关于经典的Dedekind和与Kloosterman和的混合均值的研究.主要利用特征和的性质和解析方法研究了Dedekind和与Kloosterman和的混合均值性质,并且获得了有趣的渐近公式和恒等式.2.关于包含Gauss和与广义Kloosterman和的恒等式的研究.主要利用Gauss和的性质和解析方法研究了Gauss和与广义Kloosterman和之间的联系,并且得到了几个有趣的恒等式.3.关于一个新的多项式和它们幂和的研究.主要利用初等方法研究了这个多项式的幂和,获得了几个有趣的恒等式.并且进一步得到了关于Fibonacci数与Lucas数的恒等性质.4.关于一个丢番图方程及其它的整数解的研究.利用初等方法及整数的整除性质研究丢番图方程xy+yz+zx=0的可解性,并求出了该方程的所有整数解.5.关于一个新的可加函数与Smarandache数列的均值性质研究.引入了一个新的可加函数F(n),并综合利用初等和解析方法研究了函数F(n)在特殊数列上的均值问题.给出了F(n)在Smarandache因子积数列Pd(n)及qd(n)上的均值公式.