磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging,MRI)凭借其无射线危害、成像对比度高等众多优势已经成为当今医疗诊断的常规手段和医学影像界最先进的成像技术之一。但其相对缓慢的成像速度却是影响MRI临床吞吐量和成像质量的主要因素。改变磁共振数据获取的方式,以远小于奈奎斯特采样律的数据采集方式增加成像速度是解决这一问题行之有效的方法,这种方法的理论基础就是压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论。压缩感知理论利用信号的稀疏性,随机采样获取信号的离散样本,然后通过非线性重建算法重建信号。近些年,在压缩感知的理论框架下,研究者们多角度地探究了磁共振数据的稀疏性质,并且结合正则化约束,提出了许多磁共振图像重建的方法,如全变分(Total Variation,TV)、广义全变分(Total Generalized Variation,TGV)及稀疏与低秩(Sparsity and Low Rank,SLR)等方法。本文主要研究的是基于矩阵低秩性约束的磁共振图像压缩感知重建方法。磁共振图像重建可以归纳为从退化信号求解原信号的不适定逆问题,这也是本文研究的核心问题。首先建立退化信号的重建模型,并通过构建低秩矩阵对优化模型进行约束,使其从不适定问题转化为可求解的适定问题。对于该重建模型的优化求解,常用方法包括奇异值阈值法(Singular Value Thresholding,SVT)和迭代重加权最小二乘法(Iteratively Reweighted Least Squares,IRLS),然而由于这两种方法需要利用奇异值分解,在大规模矩阵低秩约束优化问题求解时会导致过高的计算复杂度。为了兼顾算法的有效性与计算复杂度,本文主要应用了交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)对优化问题进行求解。提高图像的重建质量是磁共振图像重建研究中的关键,本文研究了基于低秩约束的二维磁共振图像重建方法,并从重建质量和计算复杂度方面对其进行了讨论与分析。首先,本文利用二维磁共振图像子块之间的非局部相似性研究了基于非局部低秩约束的图像重建模型,并用ADMM方法进行优化求解,有效地重建磁共振图像。此外,本文重点研究了基于结构化低秩矩阵约束的二维磁共振图像重建方法,并提出了适应性结构化低秩(Adaptive Structured Low-Rank,ASLR)的方法,较现有的一阶结构化低秩方法在重建质量上有了提升。基于一阶结构化低秩的重建方法在磁共振图像为分块常数之和的假设下,利用图像k空间数据所构造矩阵的低秩性作为正则化约束,而ASLR方法为了更精确的表达,是将磁共振图像假设为分块常数与分块线性函数之和,利用这两部分数据所构造矩阵的低秩性共同作为约束项,兼顾边缘信息和平滑信息以达到更好的重建效果。最后,本文研究了基于低秩约束的动态磁共振重建方法。动态磁共振图像除了空间域信息具有相关性外,时间域上的信息也具有相关性,对此,本文研究的基于低秩-稀疏约束的磁共振图像重建算法,与单独利用低秩信息的重建方法相比,具有更好的重建效果。此外,还将结构化低秩矩阵约束方法扩展到动态磁共振图像的重建中,与一阶结构化低秩方法相比,基于适应性结构化低秩的重建方法,重建质量更高,达到高采样倍数下重建高质量磁共振图像的目标。