近些年来，随着现代科学技术的快速发展，非线性科学已成为一门新的学科，其涉及的领域越来越广。在非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚、非线性量子场论、等离子体物理、流体力学、生物物理等方面导出了大量的非线性方程。由此，通过各种不同的方法去求解非线性偏微分方程是一件非常有价值的工作。本文基于符号计算和对称群方法，研究了一个变系数非线性薛定谔方程的相似变换、精确解及其动力学行为；基于向量，矩阵和曲线积分等代数技巧，研究了带有旋转力的可压缩和不可压缩N维欧拉方程的笛卡尔解。　　论文安排如下：　　第一章简要介绍了孤立子、非线性薛定谔方程、欧拉方程以及求解非线性偏微分方程的精确解的一些方法。　　第二章基于李对称理论和符号计算，首先我们获得了带有增益/损耗项和频率啁啾项的非齐次光纤介质中的非线性薛定谔方程的相似变换。其次利用所得变换，我们把具有群速度参数、克尔非线性效应参数、相位调制参数和增益/损耗参数的变系数非线性薛定谔方程约化为相应常系数非线性薛定谔方程。通过一个广义的直接求解方法，我们得到了常系数非线性薛定谔方程的一组亮孤子解和一组暗孤子解，进而得到了变系数非线性薛定谔方程的丰富的精确解。最后我们对所得亮孤子解和暗孤子解进行了动力学分析与讨论。　　第三章研究了带有旋转力的N维欧拉方程的精确向量解：基于矩阵理论和曲线积分理论，我们证明了带有旋转力的不可压缩和可压缩的N维欧拉方程存在笛卡尔（Cartesian)形式的向量解w= b(t)+4（t>,这些解能够用一个适当的公式显式表示出来。我们所用方法的优点是可以把求解带有旋转力的欧拉方程的问题转化为构造恰当的矩阵A(t)和b(t),—旦选择好了满足要求的矩阵A（t)和b(t),欧拉方程的解就可以直接得到。