【摘 要】
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设X是线性空间,U是X的凸子集,ε是非负实数.称函数f:U → R为ε-凸函数,若对任意x,∈U,t ∈[0,1],满足f(tx +(1-t)y)≤ tf(x)+(1-t)f(y)+ ε.我们已经知道,若X = Rn,则对U上
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设X是线性空间,U是X的凸子集,ε是非负实数.称函数f:U → R为ε-凸函数,若对任意x,∈U,t ∈[0,1],满足f(tx +(1-t)y)≤ tf(x)+(1-t)f(y)+ ε.我们已经知道,若X = Rn,则对U上任何ε-凸函数f,存在凸函数g:U→R及常数κ(n)>0,使得对任意x ∈U,有g(x)≤ f(x)≤ g(x)+ κ(n)ε.这一结果也称为 Hyers-Ulam 稳定性定理.2002 年,S.J.Dilworth,R.Howard 和 J.W.Robert进一步给出κ(n)可以选取为本文证明了这个常数κ(n)是最佳的.然后,通过构造1-凸函数证明Hyers-Ulam稳定性定理在任何一个无限维线性空间中都是不成立的,因此线性空间X是有限维的,当且仅当X凸集上的每个ε-凸函数都能被凸函数逼近.最后我们分别在无限维线性空间和Banach空间上给出了ε 凸函数的逼近Hyers-Ulam稳定性定理.
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