【摘 要】
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图的2-因子分解是图论与组合的一类重要研究对象.令Kv*表示完全图Kv（v为奇数）或K—I（v为偶数）,其中I为Kv的一个1-因子.Hamilton-Waterloo问题是:给定两种不同的2-因子F1和F2,是否存在Kv*的一个2-因子分解,使得其中α个2-因子同构于F1,其余的β个2-因子同构于F2?当F1和F2中的圈长均一致,且分别为m和n时,对应的Hamilton-Waterloo问题记为H
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图的2-因子分解是图论与组合的一类重要研究对象.令Kv*表示完全图Kv（v为奇数）或K—I（v为偶数）,其中I为Kv的一个1-因子.Hamilton-Waterloo问题是:给定两种不同的2-因子F1和F2,是否存在Kv*的一个2-因子分解,使得其中α个2-因子同构于F1,其余的β个2-因子同构于F2?当F1和F2中的圈长均一致,且分别为m和n时,对应的Hamilton-Waterloo问题记为HWP（v;m,n;α,β）.该问题的研究源于1995年,之后吸引了很多国内外学者的关注并取得丰富的研究成果,成为近期图论与组合的研究热点问题之一.本文的研究方法主要有两类.一是在直接构造中引入了代数方法,主要通过引进代数结构,包括差矩阵、凯莱图等,推广了循环差族和Bose的“混差法”的思想,使得设计的区组集可分为多个部分,每个部分具有不同的自同构.二是在递归构造中引进新的组合方法,利用几乎可分解圈系统、圈支架、不完全设计等组合结构给出了一系列新的HWP（v;m,n;α,β）解的递归构造方法.本文的第一类主要结果是关于几乎可分解圈系统的存在性.若v阶kk-圈系统的边集可被划分为（v-1）/2个几乎平行类和一个半平行类,则称之为v阶几乎可分解的kk-圈系统.我们完成了圈长为奇数的几乎可分解圈系统存在性的证明,并对圈长为偶数的情形部分地回答了 2010年《Combinatorica》上Lindner等人提出的一个公开问题.本文的第二类主要结果是关于Hamilton-Waterloo问题解的存在性,得到以下结果.对圈长较小的情形,完全解决了 HWP（v;3,n;α,β）解的存在性,其中n ∈{4,5,7};对圈长均为奇数的情形,几乎完全解决了 HWP（v;k,2kt+1;α,β）（kk为奇数）解的存在性问题,改进了 Burgess等人关于HWP（v;m,n;α,β）解的现有结果;对圈长含偶数的情形,几乎完全解决了 HWP（8mt;8,m;α,β）解的存在性.
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