期权作为资本市场不可或缺的风险管理工具,其定价问题是金融数学的核心问题之一,也是最具挑战性的工作之一.目前,经典的Black-Scholes(B-S)期权定价模型已经发展的相当成熟.鉴于B-S模型的不足之处,大量研究工作将其推广到基于Lévy过程的模型之上.进一步地,考虑到Lévy过程的独立平稳增量性,为使其更接近市场,Markov状态转换Lévy模型便成为人们关注和研究的热点.本文主要探讨了当标的资产价格满足Markov-调制指数Lévy模型时的期权定价问题,然后在此基础之上具体讨论了几种期权的定价.
　　首先,我们考虑Markov-调制指数Lévy模型(MMLP)下带有随机利率的欧式期权,如香草期权,二元期权和交换期权的定价问题.我们假设随机利率满足Markov-调制的Hull-White模型.利用Fourier变换,我们得到了期权价格的积分表达式.对3-状态的Merton跳–扩散模型,利用MATLAB的内置函数quadgk进行数值求解.结果表明这三种期权在状态1和状态2下的期权价格都比较接近MMLP模型,而状态3下的价格却远离MMLP模型,对此可以理解为当市场处于状态3时,市场波动性最大,面临的风险也最大,这时理性投资者就期望更高的收益对冲风险;对于香草期权和二元期权,在短时间内,利率波动对期权价格的影响可以忽略不计,但随着到期日的延长,利率波动对期权价格的影响逐渐显著;而对于交换期权,利率波动对其价格的影响无论长期还是短期都十分微弱.另外,价差比率K越大,交换期权的价格越低.
　　其次,在Markov-调制Black-Scholes框架下,我们考虑了带有具体回扣项的欧式看涨障碍期权的定价问题.利用Fourier变换和矩阵Wiener-Hopf因式分解,推导出障碍期权价格的积分表达式.在2-状态情形下,矩阵Wiener-Hopf因式分解具有解析形式,相应的数值结果表明带有回扣的期权价格明显高于没有回扣的;此外,初始价格S0越接近障碍,带回扣的期权价格也越高;无论是单障碍还是双障碍,回扣的价格都随着到期日T的增加而增加.这可以理解为初始价格越接近障碍,期权失效的可能性就越大,持有者也将面临更大的风险,这时就需要更多的回扣作为补偿以对冲期权失效的损失.从理论上讲,将第4章中使用的模型扩展到跳–扩散模型是比较简单的,并且可以通过相同的技术来实现.但从数值观点来看,障碍期权的分解和转换在一定程度上会导致更繁琐的数值计算.
　　最后,我们考虑了在Markov-调制指数Lévy模型下欧式离散几何亚式期权的定价问题.首先,基于矩阵指数,我们推导出标的资产价格几何均值的解析特征函数.值得一提的是,对于2-状态的情况,矩阵指数具有解析表达式;而对于两个以上状态的情况,我们引入Carathéodory–Fejér近似方法来计算矩阵指数.然后,采用了一种基于Fourier余弦级数展开的改进COS方法(M-COS方法)计算期权价格.最后,分别采用Markov-调制的Merton跳–扩散模型,Markov-调制的CGMY模型和Markov-调制的VG模型进行数值模拟.误差分析表明,M-COS方法是指数收敛的.数值结果表明M-COS方法和COS方法都比Carr-Madan方法快,而且随着观测日期数量的增加,CPU时间并没有像Carr-Madan方法那样显著增加,相较于Carr-Madan方法更高效.再者,虽然M-COS方法比COS方法稍微慢一些,但精度显著提高了,特别是对于MM-CGMY模型,效果更为明显.