线性保持问题是指对算子代数上保持某些性质,子集,或关系不变的线性映射的研究.线性保持问题的研究已取得了一系列深刻的结果,目前这一问题也越来越受到人们的关注.最近许多学者开始研究关于算子乘积的保持问题,例如文献[1,2].本文在诸多文章研究的基础上,主要讨论了保持算子乘积幂等性和幂零性的线性映射,得到以下结果:1.φ是Mn上保持算子乘积非零幂等性的线性满射当且仅当存在一个可逆矩阵A∈Mn和常数λ∈{1,-1},使得要φ（X）=λAXA-1对所有X∈Mn都成立;要么当n=2时,φ（X）=AAXt A-1对所有X∈Mn都成立,其中Xt表示X的转置.2.设X是无限维复Banach空间,φ是B（X）上的线性满射.φ保持算子乘积非零幂等性当且仅当存在一个可逆算子A∈B（X）和常数λ∈{1,-1}使得φ（X）=λAXA-1对所有X∈B（X）都成立.3.φ是Mn上保持算子约当三乘积非零幂等性的线性满射当且仅当存在一个可逆矩阵A∈Mn和常数ε,且ε~3=1使得要么φ（X）=εAXA-1对所有X∈Mn都成立;要么φ（X）=εAXt A-1对所有X∈Mn都成立,其中Xt表示X的转置.4.设X是无限维复Banach空间,φ是B（X）上的线性满射.φ保持算子约当三乘积非零幂等性当且仅当存在常数ε,且ε~3=1使得φ具有下列形式之一:（1）存在可逆算子A∈B（X）使得φ（X）=εAXA-1对所有X∈B（X）都成立;（2）X是自反空间,存在可逆算子A:X′→X使得φ（X）=εAX′A-1对所有X∈B（X）都成立,其中X′表示X的伴随算子.5.设φ:B（H）→B（K）是线性满射。且φ（I）≠0.φ保持算子约当三乘积幂零性当且仅当存在非零复数c和可逆算子A∈B（H,K）使得要么φ（T）=cAT A-1对所有的T∈B（H）都成立;要么φ（T）=cATtr A-1对所有的T∈B（H）都成立,其中Ttr代表T相对于H的任意但预先固定基的转置.