众所周知，偏微分方程是一个相对比较广泛的课题，它蕴含了分析中很多方面的内容，十八世纪初，一些学者就开始结合力学、物理方面的内容来研究偏微分方程。其中，弦振动方程、热传导方程以及调和方程就是最早研究的几个偏微分方程，本文所要研究的Gilson-Pickering方程为偏微分方程，文章主要从三方面进行了相应的研究，大致内容如下：首先，对Gilson-Pickering方程的背景及国内外的发展现状进行了介绍，而且列举了在其参数取不同数值时的方程的几种形式，并介绍了其在实际中的应用；同时，由于Gilson-Pickering方程本身具有较高的阶数，直接求其数值解比较困难，因此对其进行降阶处理，使其转化为常微分方程组。然后，为了求Gilson-Pickering方程的数值解，引进两种数值方法，即龙格库塔方法和并行算法。本文在龙格库塔方法解常微分方程组的基础上，利用龙格库塔方法对Gilson-Pickering方程的特例进行数值求解，并得到其相应的数值解；同时，对并行算法求解常微分方程组数值解的模型进行了相应的分析，利用此方法对Gilson-Pickering方程的特例进行了数值求解。最后，对Gilson-Pickering方程图像的分支现象进行了研究，首先介绍了分岔理论，并介绍了存在相应分岔时所需要满足的条件，在此可以了解到分岔的多种形式，其中包括Flod分岔、Flip（双周期）分岔、Hopf分岔等；之后，对Gilson-Pickering方程中的参数在取不同数值时出现的分岔现象进行研究，并在一定的理论基础上给出相应的图像。