【摘 要】
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解的几何性质是椭圆偏微分方程理论中一个基本的问题.对方程解的凸性的研究,既是分析研究的重要内容,也是研究方程本身的需要.方程的解是否凸;若非凸,是否为部分凸,这样的凸性问题是一个长期以来倍受关注的话题.本文讨论的是解的一种部分凸性:k-凸,即解的Hessian矩阵的任意k个特征值的和在何种条件下为非负.在微分几何与偏微分方程领域,对解的k-凸性质的研究都很感兴趣.本文利用强极值原理,给出了Rn上半
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解的几何性质是椭圆偏微分方程理论中一个基本的问题.对方程解的凸性的研究,既是分析研究的重要内容,也是研究方程本身的需要.方程的解是否凸;若非凸,是否为部分凸,这样的凸性问题是一个长期以来倍受关注的话题.本文讨论的是解的一种部分凸性:k-凸,即解的Hessian矩阵的任意k个特征值的和在何种条件下为非负.在微分几何与偏微分方程领域,对解的k-凸性质的研究都很感兴趣.本文利用强极值原理,给出了Rn上半线性偏微分方程k-凸解的常秩定理,并利用常秩定理和连续性方法得到预定平均曲率的k-凸超曲面的存在性.全文共四章.第一章介绍了凸性研究史上的一些经典结果,并为后面要用到的一些名词和符号进行必要的说明.第二章给出了Rn上Poisson方程的k-凸解的常秩定理.分两部分,第一部分讨论了2-凸解的常秩定理,基本的想法都蕴含于其中.第二部分讨论k≥3的情形.第三章得到了Sn上半线性方程k-凸解的常秩定理.第四章给出了Rn上预定平均曲率的k-凸星形超曲面的存在性.
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