【摘 要】
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非线性科学在自然科学和工程技术领域中得到深入研究和广泛应用.尤其在非线性偏微分方程的研究方面,很多求精确解的方法和分析方法不断建立和发展.其中对称群理论发挥了重要作用.另一个重要的方面,在过去的二十多年间,科学工作者在已有的对称群理论基础上对带有小参数的非线性偏微分方程（扰动方程）进行了大量研究,很多对称群理论和扰动理论相结合的近似方法不断产生,从而推动了非线性科学的研究和发展.本文是在扰动理论同
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非线性科学在自然科学和工程技术领域中得到深入研究和广泛应用.尤其在非线性偏微分方程的研究方面,很多求精确解的方法和分析方法不断建立和发展.其中对称群理论发挥了重要作用.另一个重要的方面,在过去的二十多年间,科学工作者在已有的对称群理论基础上对带有小参数的非线性偏微分方程（扰动方程）进行了大量研究,很多对称群理论和扰动理论相结合的近似方法不断产生,从而推动了非线性科学的研究和发展.本文是在扰动理论同泛函分离变量理论和导数相关泛函分离变量理论相结合的基础上,提出了两种近似方法,并把它们应用于扰动方程中.具体安排如下：在第一章中,简述了对称群方法、分离变量法、近似方法的研究背景、发展现状及其应用,然后介绍了本文所需的基本理论,进而引出了本文的主要工作.在第二章中,首先引入了近似泛函分离变量解的概念,并给出了（1+1）维扰动方程具有一阶近似泛函分离变量解的充要条件.然后为了阐述近似泛函分离变量方法,本章讨论了三大类扰动方程ut=（A（u）uxn）x+∈F（u）,A（u）F（u）≠0,（n≥1）, ut=A（u,ux）uxx+∈B（u,ux）, A（u,ux）≠0,B（u,ux）≠constant, ut=A（u,ux）uxxx+∈B（u,ux）uxxF（u,ux）,A（u,ux）B（u,ux）≠0,给出该类方程容许近似泛函分离变量解的完全分类,举例阐述了近似泛函分离变量解的求解步骤,获得了分类方程的近似泛函分离变量解.在第三章中,近似泛函分离变法还被应用于两大类扰动的波动型方程utt+∈ut=（A（u）ux）x,A（u）≠0,Utt=（A（u）ux）x+∈B（u）ux+F（u）,A（u）B（u）≠0.在第四章中,首先提出了近似导数相关泛函分离变量解的概念,也给出了（1+1）维扰动方程具有一阶近似导数相关泛函分离变量解的充要条件.然后为了说明近似导数相关泛函分离变量法,本章研究了两大类扰动扩散型方程ut=A（u）uxx+EB（u,ux）,A（u）≠0,B（u,ux）≠constant, ut=（A（u）ux）x+∈B（u,ux）,A（u）≠0,B（u,ux）≠constant,给出这两类扰动方程容许近似导数相关泛函分离变量解的完全分类,举例阐述了近似导数相关泛函分离变量解的求解步骤,获得了分类方程的近似导数相关泛函分离变量解.本文的最后是论文总结和今后研究工作的展望.本文的创新之处在于：（1）在理论上,本文提出了近似泛函分离变量解和近似导数相关泛函分离变量解的概念.扰动理论同分离变量理论的结合在一定程度上是对扰动理论和对称群理论的拓广（2）我们提出了两种新的近似方法,并分别给出了求取近似分离变量解的步骤.这两种方法在处理非线性扰动系统方面是切实可行的.（3）我们利用近似泛函分离变量法和近似导数相关泛函分离变量法解决了几大类扰动非线性偏微分方程,并给出了扰动偏微分方程容许近似分离变量解的完全分类；最终所求得的近似解不能用其它近似方法得到.
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