近年来，无限维动力系统的研究得到了迅速发展，与之相关的数值研究也越来越被人们关注，主要是对原系统如何进行数值模拟的问题，涉及到大时间误差估计，近似吸引子的存在性，稳定性，收敛性及其维数估计等诸多问题，目前已有很多工作.谱方法作为一种重要的数值方法，由于其具有无穷阶收敛性而引起人们的兴趣。最近几年，运用谱方法来讨论无限维动力系统的文章也日益增多，但是对于无界区域的问题，至今讨论得较少。本文研究无界区域上的广义BBM方程、广义Camassa—Holm方程的周期初值问题和二维无界区域上的反应—扩散方程以及它们的谱逼近的大时间性态。 第一部分：介绍了广义BBM方程、广义Camassa—Holm方程和反应—扩散方程的物理背景和研究现状，简述了本文主要的研究结果。 第二部分：讨论全直线上广义BBM方程的Cauchy问题，给出了方程解的先验估计和解的存在唯一性，构造了方程的Chebyshev有理谱格式，估计了谱格式解的误差，证明了由原问题的解以及谱格式的解所生成的算子半群均具有整体吸引子，且近似吸引子关于原问题的吸引子是上半连续的。还构造了全离散的谱格式，讨论了近似吸引子的存在性和上半连续性，对非自治情形的一致吸引子也进行了讨论。 第三部分：对一类带耗散项的广义Camassa—Holm方程的周期初值问题进行了讨论。给出了方程解的先验估计（包括带权的先验估计），证明了解的存在唯一性和整体吸引子的存在性，估计了整体吸引子的Hausdorff维数和分形维数，并讨论了其Fourier谱逼近的误差以及近似吸引子的存在性和上半连续性，还讨论了全离散谱格式的相关问题和非自治问题的一致吸引子。 第四部分：讨论二维无界区域上的反应—扩散方程，先对方程的解做先验估计（包括带权的先验估计），然后建立方程的混合Chebyshev—Fourier谱格式，其中X1方向用Chebyshev有理谱方法，X2方向用Fourier谱方法，并给出混合Chebyshev—Fourier谱格式的误差估计，最后证明方程的整体吸引子以及相应的谱格式的近似吸引子的存在性，并且近似吸引子关于原问题的吸引子是上半连续的。