量子计算是近几十年利用量子力学基本原理发展出来的一种新的计算框架。和经典计算相比,量子计算在求解一些特定问题时具有天然的优势,因此受到广泛关注。各领域研究人员开始尝试利用量子计算加速其领域内一些问题的求解。目前为止,很多学科和工业领域都出现了量子算法,包括数论,量子化学,优化,机器学习,金融等。一类重要的量子算法是用量子计算加速一些经典数值计算问题。2009年Harrow等人提出了求解线性方程组的量子算法,即HHL算法。和经典算法相比,HHL算法在方程维数上有指数加速。由于线性方程组求解任务是广泛出现在学术界和工业界各种问题中的一个基本任务,所以基于HHL算法衍生出了一系列新的量子算法,包括HHL算法的优化,量子机器学习算法,量子优化算法,求解线性常微分方程（组）的量子算法,求解线性偏微分方程（组）的量子算法等。目前求解线性问题的量子算法发展已经相对成熟,研究人员开始关注非线性问题和量子计算的交叉点。非线性问题是自然界更广泛出现的一类问题,和线性问题相比,非线性问题的求解难度大幅度增加,当问题规模比较大时,求解过程需要的计算资源可能会超出经典计算机的算力,一个新的研究思路是用量子计算加速非线性问题的求解。但是由于量子力学的线性性,构建求解非线性问题的量子算法时会面临一些挑战,目前求解非线性问题的量子算法还相对较少。本文的主要研究内容就是构建求解非线性问题的量子算法,我们提出了三种求解非线性方程的量子算法,具体介绍如下:1.我们首先提出了求解计算流体力学方程的量子有限体积法,量子有限体积法的核心思想是用量子线性求解器加速有限体积法每步迭代中线性方程组求解任务,并通过量子数据存储结构和一种采样算法构建出每步迭代中经典-量子数据的转换过程。我们分析了量子有限体积法的复杂度,同时做了一些相关的数值模拟,最后验证了量子有限体积法的量子优势。2.然后我们用和量子有限体积法类似的思想,构建出求解非线性方程组的量子牛顿法。量子牛顿法的思想也是用量子线性求解器加速牛顿法每步迭代中线性方程组求解任务,并通过量子数据存储结构和一种采样构建出每步迭代中经典-量子数据的转换过程。通过复杂度分析和数值模拟,我们也验证了量子牛顿法的量子优势。3.量子有限体积法和量子牛顿法都存在一些局限性。具体来说,这两种算法都是迭代算法,每步迭代包括经典-量子数据转换过程,我们通过量子数据存储结构和一种采样算法构建出尽可能压缩经典-量子数据转换过程资源消耗的流程,但还是导致了算法性能下降。为了克服上述局限性,我们构建出一种求解弱非线性方程的量子算法,即量子同伦摄动法。量子同伦摄动法的核心思想是借助同伦摄动法构建出一种线性化过程,将弱非线性方程嵌入到有限维线性方程中,然后用求解线性方程的量子算法求解得到的有限维线性方程。我们用量子同伦摄动法求解了二次非线性方程组和耗散型二次非线性常微分方程组,然后分析了量子同伦摄动法求解这两类方程时的性能,给出了完整的算法复杂度表达式。和经典算法相比,量子同伦摄动法在方程维数上有指数加速,同时算法复杂度对求解误差的依赖也是对数量级,这是目前已知的最优结果。总而言之,我们的工作将量子计算的应用范围从线性问题扩展到非线性问题,填补了求解非线性问题的量子算法研究领域的一些空白,为后续相关的研究提供参考。