【摘 要】
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在这篇博士论文中,我们主要研究带有非局部弱阻尼项及反阻尼项的半线性波方程的长时间动力学行为,其中k和p是正常数,l≥ 0,Ω（?）Rn为有界光滑区域,K ∈ L2（Ω×Ω）,h ∈ L2（Ω）,f∈C1（R）满足耗散性条件及次临界指数或临界指数的多项式增长条件.本文分为三个部分.第一部分包括第一章和第二章,概括性地介绍了本论文的研究背景、主要结论和所需的预备知识.第二部分包括第三章和第四章,讨论了
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在这篇博士论文中,我们主要研究带有非局部弱阻尼项及反阻尼项的半线性波方程的长时间动力学行为,其中k和p是正常数,l≥ 0,Ω（?）Rn为有界光滑区域,K ∈ L2（Ω×Ω）,h ∈ L2（Ω）,f∈C1（R）满足耗散性条件及次临界指数或临界指数的多项式增长条件.本文分为三个部分.第一部分包括第一章和第二章,概括性地介绍了本论文的研究背景、主要结论和所需的预备知识.第二部分包括第三章和第四章,讨论了当l=0且f分别满足临界和次临界增长条件时上述波方程的全局适定性、耗散性及全局吸引子的存在性.在全局适定性的证明中,我们用包含带局部Lipschitz扰动的m-增生算子的发展方程的适定性定理和能量方法证明了方程的强解和广义解的全局存在唯一性及其正则性,并进一步通过验证变分等式证明了广义解同时也是弱解.值得一提的是,对方程中的非局部阻尼系数的增长指数p,除要求其非负之外,我们没有施加其它任何限制条件,这给证明耗散性和全局吸引子的存在性带来了一定的障碍.除此之外,由于反阻尼项（?）（x,y）ut（t,y）dy的影响,能量沿着轨道不是递减的,这导致通过构造一般的Gronwall不等式来证明耗散性的典型方法失效.为了克服这些困难,我们首先构造了一个加细的Gronwall不等式,然后用闸方法证明了该系统的耗散性.随后,我们利用（C）条件方法证明了当f满足次临界增长条件时该系统存在全局吸引子.当f的增长指数为临界值时,不再满足Sobolev紧嵌入条件,这使得那些以紧性为基础证明全局吸引子的存在性的方法不再适用.为了克服这一困难,我们先建立了内积空间上的单调不等式（该不等式在第五章对该波方程估计非紧性测度的多项式衰退速度时也起到关键作用）;然后用压缩函数方法证明了当f临界增长时该问题的全局吸引子的存在性.本文的第三部分（第五章）主要研究关于无穷维动力系统的有界集的非紧性测度的衰退速度,其中非紧性测度的多项式衰退性的成果是本文首次提出的.作为基础,在5.1节中,我们给出了几个关于非负函数衰退估计的引理,它们是对M.Nakao的相关结论的推广.然后,在5.2节中,作为对张晋等建立的有界集的非紧性测度的指数衰退这一概念的推广,我们给出了有界集的非紧性测度的φ-衰退性的抽象理论,证明了满足有界集的非紧性测度的φ-衰退性的动力系统必存在正不变紧集以φ（t-t*（B）-1）的速度吸引任一有界集B,并给出了关于有界集的非紧性测度的φ-衰退性的几个抽象判定定理.其中,定理5.19的条件涉及压缩函数,因此适用于处理临界问题.定理5.21则在一定条件下估计了有界集的非紧性测度的多项式衰退速度.作为抽象定理5.19的应用,我们在5.3节中通过构造Gronwall不等式证明了当l>0且f满足临界增长条件时波方程（0.0.1）具有非紧性测度的指数衰退性.作为抽象定理5.21的应用,我们在5.4节中证明了当l=0且f满足次临界增长条件时波方程（0.0.1）具有非紧性测度的多项式衰退性.
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