自由边界问题又称为障碍问题,在工程领域具有广泛的应用,如渗流问题、自由水坝问题和双层弹性膜问题等。这类问题不同于一般的微分边值问题,它们通过一些微分等式及不等式所组成的互补形式来描述的,因此这类问题具有很强的非线性。对于这一类问题,在数学建模、理论分析与数值计算方面都具有很大的难度。众所周知,变分不等式是研究各种自由边界问题的重要工具,其基本思想是利用Green公式将问题转化为区域上的变分不等式,并用Lax-Milgram定理以及Sobolev空间理论,讨论问题解的存在唯一性。由于这类问题所固有的非线性,求解这一类问题的准确而有效的数值模拟方法仍然是当前研究的一个热点领域。本论文主要由两个部分组成。第一部分是关于求解自由边界问题的投影算法,该算法采用中心差分格式将自由边界问题离散为一个线性互补问题,该问题等价于一个投影不动点问题,从而得到了求解一类自由边界问题的投影算法,每一步迭代只需求解一个线性方程组,且其系数矩阵保持不变。然后利用矩阵的正定性以及投影的一些基本性质证明算法的收敛性。第二部分考虑了使用参数自适应法则的改进投影算法。由于投影算法的收敛速度在很大程度上受参数取值的影响,而且很难根据具体问题选择合适的参数。我们使用基于迭代数据的自适应法则自动调整参数,从而改进算法的性能。这样,使得算法对任意正参数都具有快速且稳定的收敛速度。并证明了算法的收敛性。最后,本文使用一些数值算例来验证了所提出的投影算法及其改进算法的可靠性和有效性,并对这些方法的数值结果进行了比较。