【摘 要】
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组合矩阵是组合数学中的基本研究对象,本文研究了只具有实特征值的组合矩阵的若干解析性质,如矩阵的全正性、矩阵作为双指标序列的渐近正态性、矩阵的（p,q）-交替性等.主要研究内容分为以下三个部分.第一部分研究Delannoy三角的解析性质.Delannoy三角与经典的组合矩阵Pascal三角具有很多共性,它们的元素都具有丰富的组合解释.本部分首先研究了 Delannoy多项式的零点,证明了 Delan
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组合矩阵是组合数学中的基本研究对象,本文研究了只具有实特征值的组合矩阵的若干解析性质,如矩阵的全正性、矩阵作为双指标序列的渐近正态性、矩阵的（p,q）-交替性等.主要研究内容分为以下三个部分.第一部分研究Delannoy三角的解析性质.Delannoy三角与经典的组合矩阵Pascal三角具有很多共性,它们的元素都具有丰富的组合解释.本部分首先研究了 Delannoy多项式的零点,证明了 Delannoy多项式的实零点性,从而说明了 Delannoy三角的行序列具有Polya frequency性质.其次,借助Delannoy多项式的零点,得到了 Delannoy三角作为双指标序列的渐近正态性.最后,研究了 Delannoy-like三角的全正性,从而得到了 Pascal三角、Fibonacci三角、Delannoy三角等一些组合三角的全正性.第二部分研究图矩阵的（p,q）-交替性.图矩阵包括邻接矩阵、Laplacian矩阵、正规Laplacian矩阵等.本部分利用矩阵的惯性指标刻画了特征值的不等式关系.作为应用,首先得到了一些经典的特征值交替不等式,如Cauchy交替定理、包容原理、Weyl不等式等.其次给出了判断矩阵（p,q）-交替性的充要条件,从而得到了图矩阵在一些变换下的（p,q）-交替性.第三部分研究Hermite矩阵的（p,q）-交替性.为了研究有向图的性质,人们借助Hermite矩阵引入Heramite Laplacian矩阵、Hermite正规Laplacian矩阵等.本部分首先研究了有向图在去边扰动下,Hermite Laplacian矩阵的交替性和Hermite正规Laplacian矩阵的相容性.其次,Weyl不等式描述了 Hermite矩阵在Hermite加性扰动下的（p,q）-交替性.通过研究多项式的（p,q）-交替性,证明了 Weyl不等式的逆命题是成立的.
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