变指数问题作为非线性椭圆方程研究领域之一，在近几十年里引起了广泛的关注，它来源于电子流变流体学和非线性弹性力学的研究，有着重要的物理背景，它同样在许多科学领域中有着广泛的应用，例如，图像恢复模型、稳定热变粘性流模型和多孔介质气体渗透模型，目前，针对此问题的研究涌现出大量的研究工作，然而，大部分局限于具有光滑位势的椭圆型偏微分方程的研究，但具有非光滑位势的偏微分方程更能反映客观实际现象，因此研究具有非光滑位势的各种边值的p(x)-Laplacian微分包含问题对深层次了解客观实际现象具有非常重要的现实意义，　　本文基于变指数Lebesgue空间Lp(x)和Sobolev空间W1，p(x)的基本理论，采用变分方法，应用非光滑临界点理论，分别研究了下面四类具有非光滑位势的p(x)- Laplacian问题解的存在性和多解性：　　(l)Dirichlet型微分包含问题(公式略)；　　(2)全空间RN上的微分包含问题(公式略)；　　(3)p(t)-Laplacian周期微分包含系统(公式略)；　　(4)非齐次Neumann边界的微分包含问题(公式略)。　　由于p(x)-Laplacian算子比p-Laplacian算子具有更复杂的非线性性，例如在一般情况下，它不是齐次的，而对具Dirichlet边值条件的p(x)-Laplacian算子没有所谓的第一特征值等等，所以一些针对p-Laplacian算子的有效方法不再适用于研究变指数问题，　　对于第一个问题，我们对两个非平凡解或四个非平凡解存在的条件进行了探讨，首先，分别在符号条件和广义AR条件Ⅱ两种情况下研究了该问题至少两个非平凡解的存在性；其次，利用截断函数技巧并结合p(x)-Laplacian方程弱解的正则性理论和强极大值原理证明了至少四个非平凡解的存在性，　　对于第二个问题，其工作空间是W1,p(x)（RN），由于在全空间RN上，嵌入不再是紧的，因此PS条件不满足，为了克服紧性的缺失，目前已经有了径向法、加权函数法和集中紧性原理，对于此问题我们主要利用推广的紧嵌入定理来克服紧性的缺失，另外，对非光滑位势j满足增长指数α+＜p-和零点附近符号条件的情况下，我们应用Weierstrass定理和非光滑山路定理证明了该问题至少有两个非平凡径向解；而对于增长指数α-＞p+和广义AR条件Ⅱ的情况，直接应用山路定理证明了至少一个非平凡径向解的存在性，　　对于第三个问题，由于边界条件是周期边界，所以Poincare不等式不能使用，为了克服这个困难，我们把空间W1,p(t)T直和分解为RN⊕V，其中V={v∈W1,p(t)T:∫T0v(t)dt=0}.在新引进的广义AR条件Ⅰ情况下利用非光滑环绕定理证明该问题至少有两个非平凡周期解；而在广义AR条件Ⅱ情况下，应用广义的山路定理证明了至少一个非平凡周期解的存在性，　　对于最后一个方程，使用上面类似的方法证明了该问题至少两个非平凡解的存在性，这个结果改进了一些相关研究的成果。