图论的研究开始于200多年前，关于图论的第一篇论文是1736年Euler发表的，他用图论的方法解决了格尼斯堡（Konigsberg）七桥问题.二十世纪六十年代以来，图论在科学界异军突起，活跃非凡.图论中也有很多著名的问题，如哈密尔顿问题，中国邮寄员问题，四色问题等等.应用图论来解决物理学、化学、生物学、信息与计算机科学以及社会科学等学科问题已显示出极大的优越性.图的圈和路理论是图论研究中的一个重要分支，在图论乃至整个离散数学领域中占有非常重要的地位，其实际应用也越来越广泛，在日常生活中，许多优化问题和网络问题诸如计算机网络中的文件传输问题，时间表问题等等都涉及到图的圈和路理论。本文我们主要研究图中的圈和路问题. 本文考虑的图若无特殊声明均为简单、无向有限图，设G是一个具有顶点集V（G）和边集E（G）的图.对υ∈V（G），υ在G中的度用dG（υ）表示.我们用NG（υ）表示在G中与υ相邻的顶点集合，NG[υ]表示NG（u）∪{υ}，△（G）和δ（G）分别表示图G的最大度和最小度，在不引起混淆的情况下简记为△和δ.对于图G，我们用|G|=|V（G）|表示G的阶数，即G的顶点数。 对于一个图G，若G的每条边都染上颜色C，则称G为边染色图，记作（G，C）给定—个边染色图G，关联于顶点υ的不同颜色边的数目，称为顶点υ的色度，记为dc（υ）如果把一般的未染色图看作是每条边都染不同颜色的边染色图，则顶点的色度就等于它的度.除了在图论和算法上的重要应用外，边染色图中的许多问题还出现在遗传学，心理学和网络理论等其它领域中.因此，这方面的研究近几年变得活跃起来.主要集中在边染色图中某些特殊子图的存在性上.边染色图中的子图，如果任意相邻的两条边的颜色都不相同，我们称之为边正常染色子图，或者称为交错子图.进一步，如果该子图中所有边的颜色都不相同，我们称之为彩色子图.这两类子图的研究尤其受到关注.圈和路是图论中的基础研究领域，因此边染色图中的彩色圈和路就成了一个重要的研究方向. 图G中过每个顶点的圈，称为图G的哈密尔顿圈.图的哈密尔顿圈问题是图论中的一个经典问题.G的一个2-因子是G的一个2-正则支撑子图，易见2-因子的每一个连通分支为一个圈.图的k个独立圈是指G中k个顶点不相交的圈.同样地、G的一个1-因子是G的一个1-正则支撑子图，通常我们称1-因子为完美对集或完美匹配.显然G的一个1-因子是覆盖G的所有顶点的一个边集合.图的一个路因子就是指每一个分支都是一条路的一个生成子图，对于图G中的一条路P和一个圈C，定义路和圈的长度分别为：l（P）=|V（P）|-1，l（C）=|V（C）|.对图的因子的研究始于一百多年以前.1859年，Reiss证明了K2n图可分解为1-因子.1891年，J.Peterson证明了任意偶数度图可以分解成边不交2-因子的并，而且它证明了每一个2-连通3-正则图都有一个1-因子.这两个结果被认为是现代图因子理论的开端.图的独立圈、2-因子和路因子问题是图的因子理论中非常重要的一部分，也是图的哈密顿圈理论的推广和延伸.它是图论中非常有趣的一类问题，也是国内外研究的热门课题，其理论研究主要集中在以下几个方面：图中含指定个数的独立圈和2-因子；含指定长度的独立圈和2-因子；图中具有指定性质的独立圈和2-因子；具有指定性质的路因子等等. 针对图中大量涌现出的圈和路的可喜结果，我们很自然的会问：这些定理可以推广到边染色图中的彩色圈和彩色路上吗？由于边染色图中的彩色子图研究起来比较困难，到目前为止关于其研究结果还比较少，且绝大部分结果都是类Ramsey的，这就意味着这些结果大多只研究了边染色完全图中的情况. 全文共分四章，主要讨论了三个方面的问题：（1）平衡二部图中的2-因子问题；（2）边染色图中的彩色围长问题；（3）边染色图中的彩色路问题. 第一章简单介绍了图论的基本概念，简洁综述了图中圈和路理论的历史和发展状况以及已有的一些与本文相关的结果，这一章是其余各章的基础.第二章首先介绍了平衡二部图中的2-因子问题已有的较好结果；讨论了含4k个顶点的二部图中的圈结构和度条件问题.第三章给出了边染色图中色度与彩色围长的一种关系.第四章讨论了在给出一定色度与彩色围长的条件下，边染色图中存在的彩色路问题. 下面，我们将列出本文的主要结论如下： 定理2.1.7.设G=（V1，V2；E）是一个平衡二分图，并且|V1|=|V2|=2k，k≥3.如果δ（G）≥k+2，则G可以划分为两个6-圈和k-3个4-圈，并且这k-1个圈点不相交. 定理3.2.1.设G是具有n个顶点（n≥3）的边染色图，对任意υ∈V（G），如果dc（υ）≥n/2-α，其中α=（3/s-3ln2+√7/3），s>3且s∈N，则有gc（G）≤s. 定理4.1.6.设图G为gc（G）≥k+1的边染色图，其中k≥3，如果对所有υ∈V（G）都有dc（υ）≥d成立，则G中存在长至少为「kd/k+1」的彩色路. 定理4.3.1.设图G为边染色图，且对任意υ∈V（G），dc（υ）≥d.如果图G中不存在彩色圈，则G中存在长至少为d的彩色路. 定理4.3.2.设图G为边染色图，gc（G）≥k+1，其中k≥3.如果对任意的υ∈V（G），dc（υ）≥d且d