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超空间的研究起源于将由拓扑空间X中闭子集组成的集族拓扑化的想法．而在研究过程当中，我们主要讨论的是由空间X中非空闭子集组成的集族F（X）．最早在F（X）上定义拓扑的是F．Hausdorff．他在论文中定义了有界度量空间X上的超空间的度量（后来被称为Hausdorff度量）：假设A，B∈F（X），ρH（A，B）=max，其中ρ为X上的度量．但是由于其定义的局限性，关于Hausdorff度量的研究并不广泛．1923年，L．Vietoris在其论文中定义了一般拓扑空间X上的超空间拓扑，Vietoris拓扑（也被称为有限拓扑）．而在1951年，E．Michael在他奠基性的文章“Topologies on spaces of subsets”中给出了Vietoris拓扑的基元素的形式并且定义了超空间上的连续选择函数．随后，在1956年，E．Michael又发表了一系列关于连续选择函数的论文．这标志着对连续选择函数研究的正式开始．在此之后，拓扑学家们在超空间上定义了各种各样的拓扑结构，并且研究了相应于各种拓扑的连续选择函数与空间X拓扑性质之间的联系．随着对连续选择函数研究的深入和系统化，选择理论逐渐发展成为一般拓扑学中的独立分支．对于超空间的研究主要集中在下面两个方面：（1）空间X的拓扑性质与超空间F（X）的拓扑性质之间的关系；（2）如果空间X是广义度量空间或者是具有某些特殊性质的拓扑空间，则超空间F（X）是否具有同样的性质．其中一些基本的拓扑性质，如紧性、连通性和分离性公理等，E．Michael在论文中进行了讨论并得到了相应的结果．在文中，E．Michael还引入连续选择函数的定义并研究了连续选择函数和空间X的一些拓扑性质之间的关系．1956年，E．Miehael继续了他对连续选择函数的研究工作，特别是连续选择函数的延拓问题．他将之称为“选择函数问题”．在这之后，对于选择函数和空间X拓扑性质之间关系及选择函数的延拓问题逐渐成为主要研究方向．最近，S．García-Ferreira，V．Gutev和T．Nogura[2006][24]继续了Michael在选择函数延拓方面的工作，给出了选择函数从F2（X）到F3（X）延拓的一个条件．在第一章中，我们主要研究了连续选择函数和拓扑空间X之间的联系，其主要的结果分为下列几个方面．首先在第1.3节中我们讨论了空间X的连通性和弱TV，连续选择函数之间的关系，证明了若空间X上有且仅有一个若连续选择函数，则空间X为连通空间．减弱了Tsugunori Nogura和Dmitri Shakhmatov相关结果的条件．在第1.4节，我们指出了[30，Theorem 3.1]的证明中的一个错误，并给出了相应的正确证明．在第1.5节中，我们发展了Giuliano Artico，Umberto Marconi和Jan Pelant关于零选择函数和基数函数关系的结果，证明了若空间X上存在TV，连续零选择函数，则空间X的包腔度和X的基数相等．在第二章中，我们主要讨论了若连续选择函数在超空间中的连续延拓．首先在第1.2节中引入了．f—最大集和f—最小集的概念．在第1.3节中，研究了f—最大集和，f—最小集的存在性及基本性质．在1.4节中，我们证明了本章的主要定理，给出了弱连续选择函数在由空间X上所有有限子集组成的集族上连续延拓的一个条件，推广了S．García-Ferreira，V．Gutev和T．Nogura的结果．1.5节中的主要结果则是1.4节中主要结果在发散遗传仿紧空间上的应用，对V．Gutev和T．Nogura的问题[28，Question 5]做出了部分解答，并给出了一个反例．