【摘 要】
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近年来,量子流体力学成为应用数学界的研究热点之一.在物理学中,量子流体力学被广泛应用于各个领域,如核的流体模型和超导体的流体模型等.而在数学上,量子流体力学模型是一个耦合双曲、椭圆与非线性色散关系而形成的复杂系统,是经典模型的色散过程[57].本文研究的是可压缩量子磁流体模型,当磁场为零时,该模型将变成可压缩量子Navier-Stokes模型.当普朗克常数等于零时,量子效应消失,该模型将变为可压缩
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近年来,量子流体力学成为应用数学界的研究热点之一.在物理学中,量子流体力学被广泛应用于各个领域,如核的流体模型和超导体的流体模型等.而在数学上,量子流体力学模型是一个耦合双曲、椭圆与非线性色散关系而形成的复杂系统,是经典模型的色散过程[57].本文研究的是可压缩量子磁流体模型,当磁场为零时,该模型将变成可压缩量子Navier-Stokes模型.当普朗克常数等于零时,量子效应消失,该模型将变为可压缩磁流体模型.关于量子Navier-Stokes模型和磁流体模型都已经有了大量的结论,但量子磁流体模型的研究结果并不多见,研究这种偏微分方程,不仅可以从数学的角度为航空航天、材料科学等应用领域上的物理现象提供合理解释,还可对相关的物理现象进行合理的预测.对于非线性偏微分方程的周期问题的探究最早可以追溯到十九世纪三十年代,至今已有十分丰富的研究方法和结果[40].本文主要研究可压缩量子磁流体模型的周期问题,具体结构如下:在第1章中,通过大量的文献综述,我们介绍了本文所研究课题的物理背景和研究进展,同时给出了本文的符号说明以及需要用到的一些研究结果;在第2章中,我们对所研究的模型进行了数学描述,在陈述了主要结果之后,严格的证明本文所研究模型的周期解的存在性和唯一性;在第3章中,对本文的工作进行概括和总结.本文的主要创新点:从方程的结构上来看,相较于量子Navier-Stokes模型,量子磁流体模型增加了磁场的影响,而相较于磁流体模型,本文所研究的模型则增加了量子效应项.由于量子效应项是一个非线性三阶微分算子,在证明方法上,在给定周期外力项时,就正则化方法,通过能量估计、拓扑度理论和一些重要的不等式探讨正则化问题周期解的存在性,通过极限过程,我们建立了可压缩量子磁流体模型周期解的存在性.最后,我们证明了模型解的唯一性.
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