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拓扑凝聚态物质的研究是21世纪初凝聚态物理中最有活力的一个领域之一。从拓扑绝缘体发现至今，拓扑的概念深入到凝聚态物理学的许多领域，推动了物理学的发展。从拓扑绝缘体到有机无机拓扑绝缘体，拓扑光子学，拓扑半金属，以及拓扑超导体，各个研究方向方兴未艾，齐头并进。 在第一章中，我们先对物理学中的对称性做了一个简要的介绍，并且由此引申至凝聚态物理中的对称性和拓扑，简单介绍了拓扑绝缘体以及拓扑半金属的发展现状。第二个大部分则主要介绍了在理论计算中我们所使用的方法和工具。对第一性原理方法密度泛函理论做了简单的介绍。并在本章结束的时候介绍了一下主要使用的从头计算软件包VASP。 在第二章中，我们主要利用密度泛函理论以及tight-binding(TB)方法来研究二维岩盐结构XBi(X=Sc，Y,La，Yb)化合物，有机无机(1，4-phenylene diisocyanide-贵金属(Au，Ag，Cu))网格体系的拓扑性质。通过加入自旋-轨道耦合(SOC)的体相能带，拓扑边缘态以及拓扑不变量Z2的计算，从而揭示出两种体系的非平庸拓扑性质。前者岩盐结构体系中存在较大的拓扑非平庸的能隙，为室温拓扑绝缘体的应用提供了一种可行的方法。而后者则在实验上首次被合成出来，从而拓宽了二维拓扑绝缘体家族。 第三章，第一部分我们提出一种新的拥有非固有点群Dirac半金属态的稳定材料SnPbO3，并且通过元素替换的方法可将Dirac点调至费米面处，为实验合成观察提供了一种方案。并且通过拓扑Z2不变量的计算，我们发现在替换元素体系中，随着其中一个Dirac点的打开，特定的面比如Bi替换体系中(110)面是可以拥有非平庸拓扑表面态的。该研究结果拓宽了非固有点群Dirac半金属的物理特征。在第二部分中，我们预言了一族新拥有拓扑Dirac半金属态的XAuTe化合物材料。这种材料以前被为是拓扑绝缘体，经过我们的计算发现该体系拥有受拓扑和对称性保护的四重简并Dirac点。我们研究不仅澄清了人们对这种材料的认识，也扩展了拓扑Dirac半金属材料家族。并且在此基础之上，我们构建了拥有二型Weyl半金属态的超晶格结构。 第四章，结合前一章节的理论计算，我们主要讨论了Weyl拓扑半金属的类型以及形成机制。并且在KAuTe拓扑Dirac半金属的基础之上，我们构建了拥有二型Weyl拓扑半金属态的超晶格结构，为实验上观测和研究该种Weyl拓扑半金属提供了理论计算方面的支撑。 第五章，通过第一性原理计算方法，我们对一系列六角蜂窝状有机物金属网格(MOF)结构做了详细的研究，指出在这种结构中存在新奇的铁磁半金属性质，并且拥有很高的居里转变温度，其中在1，3，5-苯三氰基-Au与1，3，5-苯三氰基-Cu中可以实现常温铁磁半金属态。通过详细的研究其磁性中心起源，与铁磁耦合机制，我们提出两点材料设计原则:(a)金属与有机分子强的电荷转移;(b)金属与有机分子共价键结合。只要满足这两点且能形成稳定的MOF网格，则就有可能实现铁磁半金属态。