图像科学是一门汇集多门学科于一体的交叉学科,与相关学科(特别是数学学科)的基础理论在该学科的成功应用密切相关.在图像科学中,无论是图像模型的建立,图像特征的描述,还是图像处理算子的设计,最终都可归结为一个数学问题.尤其是近年来,以小波变换(Wavelet Transform, WT)和偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)为代表的数学工具逐渐渗透到图像处理的各个研究领域.而磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging, MRI)技术以其对人体无创无损,能够观察人体内各组织结构及能量代谢情况等独特优势被广泛应用于医学诊断.然而,由于磁共振成像机制,外部环境的影响以及被检测对象等都会给磁共振成像中引入噪声,从而为磁共振图像的处理造成两方面的问题：一是背景中存在的噪声会降低图像压缩率,影响磁共振图像的传输；二是图像中噪声会降低磁共振图像的质量,会对一些组织的边界造成模糊,使得细微结构难以确认,增加了医学诊断与科研的难度,因此,磁共振图像的后处理去噪对于提高图像质量非常重要.本文旨在以小波分析和偏微分方程为主要工具,对磁共振图像中的去噪问题展开研究,得到了一些新的有意义的算法：1.传统的低通滤波方法在降低噪声的同时会模糊图像的细节,而基于小波变换的图像去噪方法凭借其良好的时频特性能够在降低图像噪声的同时较好地保持图像的细节信息.在从理论上分析现有基于小波阈值去噪方法的基础上,提出了一种基于三维小波变换的非线性滤波算法.首先通过借助于小波良好的时频局部性,对磁共振图像进行三维小波变换,得到低频小波系数与高频小波系数.通过分析三维双边滤波的有效性与准确性,提出一种基于改进邻域的小波域双边滤波算法.然后通过对NeighShrink去噪方法的分析,提出了一种基于方向波的加权NeighShrink算法.该方法既考虑了小波系数尺度内的相关性,同时也利用了小波系数的方向选择性.实验表明,改进后的算法能够更好地保护图像的细节,提高重构信号的精确度,降低了计算复杂度,易于工程实现.2.现有的基于小波变换的磁共振图像去噪算法大多是针对高斯噪声的,而磁共振图像中的噪声服从Rician分布,与高斯噪声的不同之处在于Rician噪声是信号依赖的,在高信噪比的图像区域表现为高斯噪声,在低信噪比的图像区域表现为瑞利噪声,所以将磁共振图像噪声作为高斯噪声处理往往得不到理想的去噪结果.在分析了磁共振图像的特点及其噪声的分布特性基础上,提出了一种基于三维Radon变换的磁共振图像去噪算法.通过对Rician噪声的实验分析,我们知道在Radon变换域,投影图像中的噪声趋近与高斯噪声.首先对磁共振图像进行三维Radon变换,然后以高斯分布作为投影图像平稳小波系数的分布模型,根据最大后验估计得到原始图像的投影的小波系数.实验结果表明,用该方法去噪能得到较高的峰值信噪比和较好的视觉效果.3.近年来基于扩散方程的滤波方法受到图像处理研究人员的广泛关注,这类方法最早由Perona和Malik提出.Gerig首次将P-M扩散模型应用于磁共振图像去噪,You和Acton提出了一种基于图像局部统计的扩散模型,该模型避免了P-M模型难以确定滤波器参数的缺点,方程的扩散行为由图像的局部统计量决定,但该算法在图像的异质区域降噪效果一般,并且扩散系数的非凸可能导致方程解不收敛到正确的图像.针对上述问题,从理论上进行了分析和论证,构造了新的扩散系数.证明了在新的扩散系数下,扩散是稳定的.同时,给出了新模型的数值解法.仿真实验结果表明新模型能有效地去除噪声,保留更多的边缘信息,与已有的几种基于扩散方程的磁共振图像去噪算法相比更具有优势.4.基于极小化能量泛函的方法由于易于约束方程解的正则性,被广泛应用于图像去噪,图像分割和图像的盲卷积恢复等图像处理领域.我们首先讨论了基于全变差的极小化能量泛函去噪模型在一定条件下与基于最大后验估计的贝叶斯去噪方法的等价性.然后提出了一种新的基于最大后验概率的能量极小化泛函模型.该模型考虑了在Rician噪声模型下的最大后验估计与全变差正则化模型的结合问题,根据Euler-Lagrange方程,给出了极小化能量泛函的解,同时给出了方程解的离散形式.数值实验验证了所提算法的有效性.