【摘 要】
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本文利用KAM理论和拓扑度理论研究近可积可逆系统退化低维不变环面的保持性问题,具体内容如下:第一章首先介绍KAM理论和可逆系统的基本概念,其次介绍一些重要的成果,特别是低维不变环面的KAM定理,然后介绍本文研究的问题背景和最新研究进展,最后给出本文的主要研究内容、结论以及创新点.第二章考虑如下实解析可逆系统:（?）=(ω0+M y+（?）v,0,eTy+bv+v2d+1,au)+P（w）,这里w=
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本文利用KAM理论和拓扑度理论研究近可积可逆系统退化低维不变环面的保持性问题,具体内容如下:第一章首先介绍KAM理论和可逆系统的基本概念,其次介绍一些重要的成果,特别是低维不变环面的KAM定理,然后介绍本文研究的问题背景和最新研究进展,最后给出本文的主要研究内容、结论以及创新点.第二章考虑如下实解析可逆系统:（?）=(ω0+M y+（?）v,0,eTy+bv+v2d+1,au)+P（w）,这里w=（x,y,u,v）∈Tn×Rn×R×R,P是小扰动.假设:a＞0,b＞0,det（M）≠0,b=eTM-1（?）.这里的退化问题由条件b=e TM-1（?）产生,即未扰动部分关于（y,u,v）的线性项在（0,0,0）处是退化的.利用高阶项v2d+1带来的弱非退化性,无需对小扰动项加额外条件,结合实解析函数临界点稳定性的分析,利用KAM技巧,我们证明了具有确定丢番频率ω0的低维不变环面的保持性.第三章仍然考虑第二章的退化问题.我们在频率映射满足Bruno非退化条件下证明了退化低维不变环面的保持性,并且它的频率只是确定丢番频率的小拉伸.然后,我们将此结论推广到哈密顿系统中.第二和第三章研究退化方向是一维的情形,在第四章我们把它推广到退化方向是高维的情形.考虑如下可逆系统:（?）=（ω0+M y+Dv,0,Cy+Av,Bu）+（0,0,g（v）,0）+P,其中w=（x,y,u,v）∈Tn×Rn×Rp×Rp,（p≥1）,g=(v12d1+1,v22d2+1,···,vp2dp+1).假设det（M）≠0和（?）=（?）的所有特征值的实部都非零.如果（My+Dv,Cy+Av,Bu）关于（y,u,v）在（0,0,0）处是退化的,那么借助高阶项g（v）,利用带参数的形式KAM技巧,证明了确定丢番频率ω0的低维不变环面的保持性.第五章依然考虑一维退化的低维不变环面情形,并且切向频率映射是退化的.考虑如下的可逆系统:（?）=(ω0+(y12d1+1,y22d2+1,···ym2dm+1,M yb)+pv,0,qTy+bv+v2d+1,au)+P,其中w=（x,y,u,v）∈Tn×Rn×R×R.假设a＞0,b＞0,det（M）≠0并且p=（0,···,0,pb）,q=（0,···,0,qb）,b=qbTM-1pb,其中pb表示p中的最后（n-m）个分量.利用高阶项和带参数的形式KAM技巧,我们证明了以ω0为频率的低维不变环面的保持性.第六章我们对本文所取得的成果进行了总结,并对将来的研究进行展望.
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