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本文主要研究如下二阶半线性椭圆偏微分方程的Dirichlet边值问题△u+λf(u)=0 在Bn中，u=0 在аBn上，以及当非线性项，出现扰动时相应的摄动方程△u+λf(u+ε)=0 在Bn中，u=0在аBn上的经典正解，其中Bn是Rn中的单位开球，n≥1，λ>0为一分歧参数，ε>0为一小常数.
上述类型的方程来源于许多不同的物理、化学和生物学领域，例如气体的热燃理论，量子场论和人口动力学等(参见[50])，其中比较著名的有Gelfand方程(经变量替换，f(u)=exp(-1/u)，见[29])，自动催化化学反应模型(f(u)=up-uq，1ι>1，见[35]).
本文利用分歧理论，上下解方法和连续方法，研究了其中-类方程，其非线性项f具有-定的光滑性，并且都是凹凸的，通过对于不同维数上的，具有不同线性性f的该类方程进行具体分析，从而确定这一类方程正解的确切个数和分歧结构，以期适用于更广泛的实际应用.