【摘 要】
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非光滑优化一直以来都是优化界的一个非常热门的课题,其广泛应用到图像恢复、最优控制、变量选择、随机平衡、信号重构和经济管理等各个学科领域中.但非光滑函数自身复杂的结构与特征,导致其二阶展开较难直接表达,而二阶展开关系到相应的优化算法的收敛性,使得针对此类问题的优化算法一般很难具备较好的收敛性.近年来,随着计算机的高速发展,复杂的大规模非光滑优化问题在实际问题中应用更为广泛,这使得对优化算法的效率及收
【基金项目】
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北京市自然基金面上（项目编号:1202021）；
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非光滑优化一直以来都是优化界的一个非常热门的课题,其广泛应用到图像恢复、最优控制、变量选择、随机平衡、信号重构和经济管理等各个学科领域中.但非光滑函数自身复杂的结构与特征,导致其二阶展开较难直接表达,而二阶展开关系到相应的优化算法的收敛性,使得针对此类问题的优化算法一般很难具备较好的收敛性.近年来,随着计算机的高速发展,复杂的大规模非光滑优化问题在实际问题中应用更为广泛,这使得对优化算法的效率及收敛问题更为看重.因此,如何设计一个具有较好收敛性且适用于大规模问题的优化算法就成为众学者关注的难点和重点.本文主要针对一类非光滑凸优化问题进行算法研究,并通过一系列的数值实验验证了该算法的可行性及高效性,具体的研究内容如下:（1）针对一类凸的非光滑函数的极小化问题,设计了一种基于光滑化梯度方法的VU算法（SG-VU）,其主要是交替地进行正交步:V步骤和U步骤.在V步骤中,利用光滑化梯度方法生成临近点序列去逼近原始轨迹点,从而达到V空间中求最小的目的,并通过简单的计算来近似对偶轨迹点也避免了V步骤中要进行两次优化问题的求解的情况;在U步骤中,利用V步骤中得到的计算副产物:U-次梯度和U-Hessian矩阵,进行U-Newton步,同时满足U空间最小化和加速算法的目的.通过引入简单的线搜索,保证每一步完整的迭代是充分下降的.（2）对SG-VU算法进行全面的收敛性分析.通过对V步骤中内循环的停止条件进行分情况讨论,证明算法的全局收敛性.通过光滑化方法的特点,证明了V步骤中生成的临近点、真实的临近点和近似的对偶轨迹点存在某种不等式关系.进一步地,在一些提出的假设条件下,证明了 SG-VU算法具有超线性收敛性.（3）通过一系列数值实验,证明了SG-VU算法相比与bundle-VU和SG算法的优势.SG-VU算法能在更短的CPU时间内得到更高的精度,其优化性能更佳;对于复杂的大规模问题,SG-VU算法也具备良好的优化表现;SG-VU算法对初始光滑化因子的选择更加稳健.通过对算法求解过程的观察与分析,验证了SG-VU算法的超线性收敛性.并针对一些文献内提出的优化问题进行进一步计算,证明了SG-VU算法的可行性与高效性.
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