【摘 要】
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超立方体、星图和（n,k）星图是在理论上或在实际中可作为并行分布式计算系统的基础拓扑的三类重要网络,从图论的角度看,它们都是正则图.在设计和选择计算系统的网络时,人们必须考虑网络的容错性.较常用的度量网络容错性的图参数是（边）连通度.考虑到在实际中,系统的一些相对较紧凑的子结构中的元件由于面对相同的物理环境可能会同时发生故障,图的结构连通度和子结构连通度的概念被提出.另一方面,如果系统的每个元件都
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超立方体、星图和（n,k）星图是在理论上或在实际中可作为并行分布式计算系统的基础拓扑的三类重要网络,从图论的角度看,它们都是正则图.在设计和选择计算系统的网络时,人们必须考虑网络的容错性.较常用的度量网络容错性的图参数是（边）连通度.考虑到在实际中,系统的一些相对较紧凑的子结构中的元件由于面对相同的物理环境可能会同时发生故障,图的结构连通度和子结构连通度的概念被提出.另一方面,如果系统的每个元件都是独立等概率地发生故障,那么某些元件同时发生故障的概率就非常小,基于此观察,图的好邻连通度和限制连通度的概念被提出.为了度量一个网络中多个顶点间的连通性,图的树连通度的概念被提出.此外,哈密尔顿性是一个网络所应具有的最重要的性质之一,因此网络关于哈密尔顿性的容错度也受到广泛关注.本文将利用连通度、结构连通度、好邻连通度、限制连通度、树连通度以及网络关于哈密尔顿性的容错度等参数研究超立方体、星图、单定向星图以及（n,k）星图等网络的容错性.全文共分八章.第一章首先介绍网络容错性研究的背景,然后在给相关概念准确定义的同时介绍本领域国内外的研究现状,最后简介本文的主要结果和写作安排.第二章证明每个弧数至少为（?）的n阶强连通定向图D中必存在一点v使得D-v是强连通的;每个弧数至少为（?）的n阶强连通有向图D中存在两点u*,v*使得D-u*和D-v*都是强连通的;并用例子说明这里所给的关于弧数的下界都是紧的.路、圈和星是网络中三种重要且常见的结构.第三章确定了n维星图Sn关于小的路、圈和星结构的结构连通性度κ（Sn;H）和子结构连通度κs（Sn;H）,具体如下:#12和#12第四章根据（子）结构连通度提出的背景,引进更符合实际的两个概念——强结构连通度κ’（G;H）和强子结构连通度κ’s（G;H）.完全图是最紧凑的网络结构.第四章利用（子）结构连通度和强（子）结构连通度,研究（n,k）星图Sn,k的容错性,确定了Sn,k关于完全图结构Kt的（子）结构连通度和强（子）结构连通度,具体如下:κ’s（Sn,k;Kt）=κ（Sn,k;Kt）=κs（Sn,k;Kt）=[n-k/t]+k-1,当1≤t≤n-k 时和#12其中 qn-k,t和rn-t,t分别表示n-k/t的商和余数.第五章研究（n,k）星图Sn,k的树连通度,证明了Sn,k的4集树连通度为n-2,即对Sn,k中任意4个顶点x,y,z和w,Sn,k中存在连接它们的（n-2）棵内部不相交的树.关于星图和（n,k）星图的3集树连通度的两个已知结果都是这个结果的直接推论.单定向星图是具有单向边的星图,可用于一些单向信号系统的拓扑.第六章研究n维单定向星图（?）的1好邻连通度.先给出单定向星图的一些顶点子集的外邻集和内邻集基数的下界,然后证明了（?）的1好外邻连通度和1好内邻连通度都是[n-1/2],而它的1好邻连通度是3n-9.第七章利用限制边连通度研究正则图含有完美匹配的充分条件,证明对奇数k ≥ 3,每个（k+2）限制边连通度至少为k-1的k正则图都有完美匹配,并且用例子说明该结果部分改进了一个经典结果.第八章讨论了禁错集模型下超立方体关于哈密尔顿性的容错度,证明了如果一个n维超立方体Qn包含的故障边的数目不超过4n-13且它每个顶点都与至少三条无故障的边关联,那么它仍然包含一个无故障的哈密尔顿圈,并用例子说明故障边数的上界4n-13是紧的.
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