本文考虑的是希尔伯特空间中的一类单调映射,它们可以看做是正可逆算子的非线性形式.本文将证明这类映射是开的,holder连续的和拟对称的,它们自然地产生于Beurling-Ahlfors扩张和Brenier极分解中,并且在度量空间几何和椭圆偏微分方程中有着重要的应用.第一章,我们简单阐述了δ-单调映射的产生背景,几何意义和它的应用.第二章,我们给出了本文所需要的相关概念,它们包括拟对称,拟共形和凸函数.第三章,第一部分我们证明δ一单调的几个性质.第二部分主要考虑dimH<∞,特别是dimH=2时,某些拟对称函数的Beurling-Ahlfors扩张不仅是拟共形的,而且还是δ-单调的.第三部分主要结论是对凸函数的梯度而言,拟对称性和δ-单调性是一致的.这就引出了下面的观点：假设一个拟共形映射f:Rn→Rn可以被分解成f=(▽μ)os,其中μ是凸的,s是保测的(对于Rn的每个有界子集,由Brenier的极分解定理,我们知道这样的极分解存在),那么s是bi-Lipschitz的当且仅当▽μ是δ-单调的?第四章,我们给出了正在考虑的问题.