【摘 要】
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在数论,代数函数论以及代数几何中,一个基本问题是计算交换环有限扩张的整闭包.对应的问题分别是整基的计算.整函数的计算以及代数簇的正规化.循环扩张的整闭包计算式经典的结果.三次扩张是最低次的非循环扩张.对于单变量的代数函数,Baur最早给出了三次方程的系数分解,并给出了整函数的计算.谈胜利计算出诺特唯一分解整环R上三次扩张的正闭包.在2004年,谈胜利和张德琪将这一计算结果推广到R的任意n次Brin
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在数论,代数函数论以及代数几何中,一个基本问题是计算交换环有限扩张的整闭包.对应的问题分别是整基的计算.整函数的计算以及代数簇的正规化.循环扩张的整闭包计算式经典的结果.三次扩张是最低次的非循环扩张.对于单变量的代数函数,Baur最早给出了三次方程的系数分解,并给出了整函数的计算.谈胜利计算出诺特唯一分解整环R上三次扩张的正闭包.在2004年,谈胜利和张德琪将这一计算结果推广到R的任意n次Bring-Jerrard扩张,即定义方程为zn+sz+t=0的扩张.实际上他们也尝试利用基变换的方式对一般的四次扩张给出整闭包计算.本文我们用Syzygy方程的形式计算出诺特唯一分解整环上的四次扩张的整闭包.这一结果回答了谈胜利和张德琪留下的问题.同时我们给出了n次方程定义的扩张的非正规轨迹的新的刻画条件.我们将计算结果应用到光滑代数簇上的四次覆盖的研究,我们给出了四次覆盖的零迹层和分歧轨迹.另外我们从方程系数的分解确定四次覆盖的伽罗华群.1996年,Hahn和Miranda通过分析四次覆盖的环结果,证明了任意光滑代数簇上平坦四次覆盖由一个秩3向量丛ε和一个完全可分解截面η∈H0（Δ2S2ε*（?）∧ε）确定.2004年,M.Bhargava在发现四次环由一对三元二次型（A,B）参数化.本文通过对四次方程系数的分解,给出了由四次方程定义的四次覆盖的完全可分解截面的精确构造,同时证明这个截面局部上来自于一对三元二次型.并发现它们对应的射影平面中二次曲线的交点型决定了覆盖的分歧情形.这一结果回答了M.Bhargava关于四次环的一个问题.
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