论文部分内容阅读
在拓扑动力系统领域,可依照不同方式生成多种动力系统,例如迭代函数系统,（广义）逆极限系统,群作用下的动力系统,作用组对应的超空间动力系统,模糊系统等.其中迭代函数系统、群作用下的动力系统和作用组都是基于有限个连续自映射展开的,而超空间上的集值映射和模糊系统之间存在着千丝万缕的联系,同时集值映射又和其诱导生成的广义逆极限系统联系紧密.而动力系统的各类跟踪性、敏感性和混沌性是动力系统复杂性研究的重要内容.如此混沌理论又往往能够拓展到这些动力系统当中,从而更深入地讨论这些系统的复杂性质.本文主要研究了上述五种不同的动力系统的复杂性.一、在迭代函数系统中从与以往不同的角度给出了跟踪性、平均跟踪性和拓扑遍历性的概念,并进行了相应举例.首先证明了如果迭代函数系统IFS（f0,f1）有跟踪性,则映射f0和映射f1都有跟踪性,反之不一定成立.然后又得到结论:迭代函数系统IFS（f0,f1）有跟踪性当且仅当其对应的step skew积有跟踪性.最后研究发现,平均跟踪性和拓扑遍历的关系:一个有平均跟踪性的Lyapunov稳定的迭代函数系统是拓扑遍历的.二、首先,讨论了集值映射和其诱导生成的广义逆极限系统在跟踪性、传递性、弱混合性、混合性、链传递性和链混合性方面的蕴含关系:如果集值映射诱导的广义逆极限系统中的移位映射有跟踪性（相应地,传递性、弱混合性、混合性、链传递性、链混合性）,则集值映射也有跟踪性（相应地,传递性、弱混合性、混合性、链传递性、链混合性）.结合实例可知上述结论的逆不一定成立.然后研究了超空间中集值映射的跟踪性、弱混合性、混合性和链混合性的性质:集值映射的跟踪性具有迭代不变性质.如果集值映射有跟踪性,那么其弱混合性、混合性和链混合性,三者互相等价.三、在有限生成半群作用的动力系统中研究了 Li-Yorke混沌、分布混沌和按序列分布混沌,给出了应用较广泛的有限生成半群作用的动力系统是Li-Yorke混沌的一个判别条件,以及有限生成半群作用的动力系统是强Li-Yorke混沌和一致按序列分布混沌的判别条件.并在符号空间上应用了第二个判别条件.四、给出了一个超空间的作用组有分布混沌点对的必要条件,同时研究得到了一个可用于判别作用组是强Li-Yorke混沌和一致按序列分布混沌的判别条件.并在符号空间上应用了此判别条件.五、首先针对文献[1]的定理4.2:如果（K（X）,f）是敏感的,则（F1（X）,fg）对任意g∈Dm（I）,g（-1）（1）={1}是敏感的,我们给出了一个相对较简单的证明.然后研究了动力系统（X,/）、（K（X）,f）和模糊系统（F（X）,fg）)在很多种敏感性方面的蕴含关系:（1）（K（X）,f）是 thickly 敏感的（相应地,thickly syndetically 敏感的,thickly periodically 敏感的,confinitely敏感的,遍历敏感的,pointwise敏感的,colletively敏感的,渐近敏感的,Li-Yorke敏感的）当且仅当（F1（X）,fg）对任意g∈Dm（I）,g（-1）（1）={1}是thickly敏感的（相应地,thickly syndetically 敏感的,thickly periodically敏感的,confinitely 敏感的,遍历敏感的,pointwise敏感的,colletively敏感的,渐近敏感的,Li-Yorke敏感的）.（2）如果（K（X）,f）是thickly 敏感的（相应地,thickly syndetically 敏感的,thickly periodically 敏感的）,则（X,f）是thickly 敏感的（相应地,thickly syndetically 敏感的,thickly periodically 敏感的）.（3）（X,f）是cofinitely敏感的（相应地,强敏感的）（?）（K（X）,f）是cofinitely敏感的（相应地,强敏感的）（?）（F1（X）,fg）对任意g ∈ Dm（I）,g（-1）（1）={1}是cofinitely敏感的（相应地,强敏感的）.（4）构造了一个动力系统（X,f）使得（X,f）是syndetically敏感的（相应地,遍历敏感的,pointwise敏感的,collectively敏感的）,但是（K（X）,f）不是syndetically敏感的（相应地,遍历敏感的,pointwise 敏感的,collectively 敏感的）.