本文研究了求解第二类非线性刚性Volterra积分方程的显式Pouzet-Runge-Kutta-Chebyshev (PRKC)方法和求解Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程的显式Abel-Runge-Kutta-Chebyshev (ARKC)方法.Runge-Kutta (RK)方法是一类经典的用于求解常微分方程的单步数值解法.显式Rvnge-Kutta-Chebyshev (RKC)方法是一类稳定的RK方法,具有一阶和二阶,且其在复平面上沿负实轴方向的绝对稳定区域长度与s2(s为级数)成正比.因此,显式RKC方法能够用于求解非线性大维数刚性常微分方程组.其良好的稳定性质来自于以第一类Chebyshev多项式为基础构造方法的稳定性函数.通过空间离散, Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程初边值问题能够转化为第二类非线性刚性且具有弱奇性核的Volterra积分方程.因此,两类问题的共同特点就是都具有非线性和刚性.由于隐格式的方法不容易实现,所以我们利用显式RKC方法的思想,构造求解这两类问题的数值方法.本文分四章,最后一章是总结,前三章的内容包括：第一章是绪论,介绍了相关内容的背景和理论基础,即第二类Volterra积分方程,时间分数阶反应扩散方程,求解常微分方程的RK方法和显式RKC方法,以及求解第二类非奇性和弱奇性Volterra积分方程的RK方法.第二章,我们研究了求解第二类非线性刚性Volterra积分方程的显式PRKC方法.因为求解第二类Volterra积分方程的Pouzet类Volterra-Runge-Kutta (Pouzet-Volterra-Runge-Kutta, PVRK)方法与对应求解常微分方程的RK方法不但具有相同的绝对稳定区域,而且具有相同的阶数,所以我们选择PVRK方法作为我们的研究对象.首先,我们分析了PVRK方法关于基本测试方程的绝对稳定性；接着,根据显式RKC方法的思想,我们利用第一类Chebyshev多项式构造显式PVRK方法的稳定性函数,推导出求解第二类非线性刚性Volterra积分方程的显式二阶PRKC方法.然后,讨论了显式PRKC方法关于卷积型测试方程的绝对稳定性,以及相关的绝对稳定性的数值研究,包括显式三级PRKC方法绝对稳定性和稳定区域与算法参数ε和s数量之间的关系.最后,通过数值实验证明了PRKC方法能够有效性地求解第二类非线性刚性Volterra积分方程,以及通过调整s和ε的数量能够改变稳定区域.第三章,我们研究了求解Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程的显式ARKC方法.因为通过空间离散,Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程初边值问题能够转化为第二类非线性刚性且具有弱奇性核的Volterra积分方程组,所以这章我们求解的问题就是后者.首先,我们找到了ARK方法和Volterra-Runge-Kutta (VRK)方法系数之间的关系,根据这个关系能够用VRK方法的系数构造一阶的ARK方法的系数.接着,利用前面的关系,以PRKC方法为基础构造了求解Caputo导数意义下的时间分数阶反应次扩散方程(即第二类非线性刚性且具有弱奇性核的Volterra积分方程)的显式Abel-Runge-Kutta-Chebyshev (ARKC)方法.然后,通过数值的方法分析了显式ARKC方法关于测试方程的绝对稳定性,推出了方法的参数s,ε与测试方程参数λ,α之间的关系.最后,通过数值实验验证了显式ARKC方法能够有效地求解Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程初边值问题,以及方法的参数s,ε与方程参数α之间的关系.1.求解第二类刚性Volterra积分方程的PRKC方法第二类刚性Volterra积分方程为其中(?)K/(?)y和(?)2K/(?)t(?) y皆为绝对值很大的负数.取则求解第二类刚性Volterra积分方程(1)的s级显式Pouzet-Runge-Kutta-Chebyshev (PRKC)方法为：其中Yni,yn+1分别为y(tn+cih)和y(tn+h)近似值,且满足的近似值.其系数定义为：其中2.求解时间分数阶反应扩散方程的显性RKC方法通过空间离散,Caputo导数意义下时间分数阶反应次扩散方程能够转化为第二类非线性刚性且弱奇性的Volterra积分方程取求解第二类非奇性刚性且弱奇性Volterra积分方程(3)的s级显式Abel-Runge-Kutta-Chebyshev (ARKC)方法为其中的近似值.系数定义为：其中aij,bj,ci是s级显式PRKC方法(2)的系数.