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1906年,Birkhoff提出了一类更广泛的多项式插值问题,其典型特征是某些插值结点上的微商条件是不连续的.正是这种不连续性使之变的更加复杂,该问题被称为Birkhoff插值Birkhoff插值有着广泛的应用背景,例如微分方程边值问题的求解,有限元的构造等等,此外它也是解决应用密码学的分级（图像）秘密共享问题的重要工具之一.与人们熟知的Lagrange和Hermite插值相比,Birkhoff插值理论远没有达到完善的地步,事实上,一元Birkhoff插值问题尚有许多问题未能解决,人们对于多元Birkhoff插值就知之更少了.虽然国内外诸多学者对该问题开展了较广泛的研究,但基本上是针对特殊的插值问题,例如结点的特殊分布,或者结点上的微商插值条件一致等这类问题.Lorentz在1992年提出的多元Birkhoff插值格式,其中定义插值条件的微分算子是单项微分算子.本文中将研究的问题拓展为具有多项式微分插值条件的多元Birkhoff插值,并分别从以下三个方面展开了讨论：1)给定插值空间和插值条件,判定插值格式的正则性；2)给定插值结点和插值条件,求适定的插值基；3)给定插值结点和插值条件,求结点在给定误差范围内摄动时的稳定单项基.具体工作如下：在第二章中,提出了更一般的n元Birkhoff插值格式,与1992年Lorentz提出的多元Birkhoff插值格式相比,插值条件由单项式微分条件推广为多项式微分条件,从而使得研究的问题更广泛.给定插值格式,判定其正则性一直以来是研究者们关注的问题.本章中给出了如何仅从定义插值条件的关联矩阵中获取插值格式正则性信息的两个结论：插值格式几乎正则的一个必要条件和正则的一个充分条件.定义1. n元Birkhoff插值格式（Z,E,PS）包含三个部分：（1）一组结点集Z,（2）插值空间Ps,其中S=[t1,…,tl]是一个按分次字典序排列的单项序列,k≤l.（3）包含m个子矩阵的关联矩阵E,其中不含零行,问题1.对任意给定的型值cij∈R,与插值格式（Z, E, PS）对应的插值问题为求多项式F∈PS满足插值条件D=[D1,…,Dl]为单项序列s对应的微分算子序列,中的每一行对应着结点zi上的一个插值条件,Lji为最中第j行所对应的插值条件泛函.令|E|表示矩阵E的行数,也即插值条件个数.若插值条件个数|E|等于插值空间的维数dim PS,则称插值问题1是规范的.本文中考虑的都是规范的插值问题.对任意给定的型值,问题1是否有唯一解依赖于结点集的分布.若对任意分布的结点集,问题1都有唯一解,则称插值格式（Z, E, PS）是正则的;若对几乎所有的结点集分布Rmn中的Lebesgue测度下),问题1都有唯一解,则称插值格式（Z, E, PS）是几乎正则的：若对任意分布的结点集,问题1都不存在唯一解,则称插值格式（Z,E,PS）是奇异的.对给定的插值格式,如何仅从关联矩阵的自身性质出发获取插值格式正则性的信息,是本章主要探讨的问题,主要得到了以下两个结果：定理1.令S=[t1,…,tl]为按分次字典序排列的单项序列,E为定义插值条件的关联矩阵.若插值格式（Z,E,PS）是几乎正则的,则E满足广义的Polya条件.定理2.若关联矩阵E能通过特定初等行变换约化为一个上三角矩阵E,且E的对角元为非零常数,则插值格式（Z,E,PS）是正则的.在第三章中,我们分别讨论了一般性Birkhoff插值和两类特殊的Birkhoff插值的适定性问题.问题2.令S=[t1,…,tl]是一个按分次字典序排列的单项序列,D=[D1,…,Dl]为与之对应的微分算子序列,是给定的插值结点集,为关联矩阵,其中且不含零行,中第j行所对应的插值条件泛函记为LjiBirkhoff插值问题可以描述为求一组插值基,使得对任给的型值在这组基张成的插值空间（?）中都存在唯一的多项式f满足插值条件满足上述性质的插值基称为适定的插值基,相应地,插值空间（?）称为适定的插值空间.由于插值条件可由关联矩阵E和单项序列S唯一确定,因此本章所讨论的Birkhoff插值问题可简记为（Z,E,S）.由关联矩阵E和单项序列S所确定的插值条件泛函Lji,（j=1,…,ji,i=1,…,m）,并不总是线性无关的,因此在本章中首先讨论了给定关联矩阵时,插值问题2有解的充要条件,并在有解时,给出了计算其分次序下极小插值单项基的BMMB算法.随后定义了一个单项序列S的正则子链,并证明了当关联矩阵具有某些好的性质时,其适定的插值基可以由关联矩阵和单项序列S直接确定.定理3.给定插值问题（Z,E,S）,其中S=[t1,…,tl]为按分次字典序（?）排列的单项序列.结点集关联矩阵每个子矩阵Ei为一个非零行向量,即中的非零元素对应着序列S的一个单项子序列,记为Si,t=1,…,m.若下述条件成立,（1）关联矩阵E的每一列中至多有一个非零元素;（2）[S1,S1,…,.Sm]为单项序列S的正则链,则多项式集恰为适定的插值基.本章的最后,讨论了一类特殊的Birkhoff插值问题,其中每个结点上的插值条件都相同,为一多项式微分算子D,称这样的插值为一致Birkhoff插值,简记为（Z,D）.对给定的一致Birkhoff问题（Z,D）,给出了插值空间适定的充要条件：定理4.给定一致插值问题（Z,D）,子空间为（?）的一致微分子空间,其中gi=D（fi）则（?）为适定的插值空间当且仅当g1,g2,…,gm线性无关,且插值节点不同时落在空间（?）中的任何一个代数流形上.在第四章中,考虑结点的摄动,提出了多元Birkhoff插值问题稳定单项基的概念并给出了相应的算法.在现实生活中,通过实验测量得到的数据是不精确的,通过精确算法求得的单项基,在结点发生微小的摄动时,会使得插值问题不存在唯一解,即这组基对摄动后的插值问题不再是适定的.因此,求一组单项基,使得当插值结点在一定误差范围内摄动时,插值基依然保持适定是十分必要的.这样的单项基称之为稳定的单项基.2008年,Abbot等人提出了SOI算法计算消逝理想的稳定的边界基.本章中,基于SOI算法,提出了计算Birkhoff插值稳定单项基的算法.