本论文以凸体为研究对象,利用可将凸体刚性分离的切割线的充分必要条件和存在性,给出了寻求凸体最小投影面积的一个方法,证明了当投影面积最小时切割线也达到最短。最后运用变分法中条件极值的相关知识得到了切割线的极小值。　　 寻求最小投影面积的一个方法:　　 本论文所讨论的投影都是在正象限集的垂直投影。设M是R3中的一个紧凸体,AB为M的直径,经过适当的旋转使得AB与xoy平面平行。记此时P(M)的面积为S0。设f(P,θ)为投影区域P(M)内任意两点间的弦长函数。f(P,θ)x、f(P,θ)y分别为x、y方向上的最大弦长函数。主要运用旋转M的方法寻找最小投影面积,即在旋转的过程中当f(P,θ)x、f(P,θ)y都取得最小值时,投影面积达到最小。　　 在本论文第二章中证明了当旋转时f(P,θ)是连续变化的,所以运用旋转时观察弦长的变化是可行的。下面我们简单介绍一下操作步骤。　　 第一步寻找f(P,θ)x的极小值:　　 设AB在xoy平面内的投影为AB,在P(M)内x方向上最长的弦为CD且AB⌒CD=m。固定AB,让M以AB为轴转动,每次旋转的角度为Δθ(Δθ→0),观察CD的变化。　　 当C,D同时靠近m点时,CD的长度减小,这时P(M)的面积也在减小。当C,D两个点中有一个不再靠近m点时,CD达到极小值。这时停止转动,在M中找到C,D的原像C,D∈bdM。　　 第二步寻找f(P,θ)y的极小值:　　 固定CD,让M以CD为轴转动,每次旋转的角度为Δθ(△θ→0)。观察AB的变化。和第一步中观察CD的方法一样,当AB的长度达到极小值时停止转动,这时在M中找到AB的原像A1B1,记此时P(M)的面积为S1。　　 第三步比较f1(P,θ)x与f1(P,θ)y的大小:　　 (1)当f1(P,θ)x