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如果真要探究弗雷格算术系统中的非一致性根源,那么,不仅需要找到算术片段一致性的模型,而且也要找出算术片段的可解释性。因此,本文的主线索有两条：一条是证明弗雷格算术一阶片段和二阶片段的一致性；另一条是证明诸片段的可解释性。但是,两者并不是泾渭分明的,而是经常交叉在一起的。关于PA2,HP2,BLC2子系统和一致性和解释性,我们取得的主要成果有：Frege本人实际上阐明PA2(?)HP2；Heck和Linnebo阐明Π11-CA0(?)Π11-HP0；Boolos阐明Π11-HP0(?)Π11-CA0；同时得到Π11-CA0≡Π11-CA0；Heck｜阐述ABL0(?)Q；Ganea和Visser｜阐述Q(?)ABL0；同时得到ABL0≡Q；Burgess｜阐述AHP0(?)Q；Ferreira和Wehmeier阐述△11-BL0是一致的；对此两人证明的微小改进表明∑11-LB0是一致的；对整个证明的观察会表明∑11-LB0(?)Π11-CA0。Walsh用超算术理论证明∑11-LB0+(?)Σ11-AC0；根据递归饱和域,最终证明ACA(?)∑11-PH0.在对弗雷格算术片段的一致性证明过程中,Burgess使用了有穷论的证明论方法；而Heck等人采用了无穷论的模型论方法。而在采用模型论证明的过程中,Heck采用了变元-约束项-形成算子,而Wehmeier采用了△11-概括公式。由此,近30年来,弗雷格数学哲学研究主要采用了如下三种方法：超算术理论,计算模型理论和逆数学理论。弗雷格算术是由二阶逻辑和休谟原则构成的：而弗雷格定理阐述的是,二阶皮亚诺算术的所有公理都是可以从弗雷格算术和FD中推导出来的。引出弗雷格算术的意义在于,近一个世纪以来,非形式算术几乎无一例外地都被赋以某种Peano-Dedekind式公理化形式。这些公理化形式把自然数认作有穷序数,通过它们在ω-序列中所处的位置而得以个体化。然后,弗雷格定理表明,一个可替代的和概念上完全不同的算术公理化形式也是可能的,而基本的思路就是自然数是有穷基数,通过对概念取数的方式即概念数的基数性而得以个体化。