符号模式矩阵是组合矩阵中当前国际上十分活跃的一个研究课题,其重要原因之一是它在经济学,生物学,化学,社会学,计算机科学等众多学科中具有广泛的实际应用背景。符号模式矩阵的研究起源于研究线性动力系统的符号可解性和符号稳定性,是由诺贝尔经济学奖获得者 P.A. Samuelson 在他的著作《Foundations of Economic Analysis》中首先提出的。R.A. Brnaldi, B.L. Shader 的专著《Matrices of Sign-solvable LinearSystems 》总结了到 1995 年为止在符号模式矩阵研究中所取得的重要成果,将本课题的研究推向了一个新的层面,本文专注于对一些特殊类型的符号模式矩阵进行了研究。第一章概述符号模式矩阵研究的历史,介绍一些基本知识,提出本文所作的工作。第二章讨论符号模式矩阵的惯量和谱。首先较为详细地讨论了一类特殊的符号模式,介绍了它在惯量任意模式和谱任意模式中的研究进展;其次给出了一般反对称符号模式 A 的惯量,得到了 A k惯量的刻划;最后介绍了一类谱任意的稀疏符号模式。第三章研究平方非正矩阵的负元个数,系统总结了已有结论,并证明了当 A是阶数n ≤4的实矩阵时,R. DeMarr 和 A. Steger 提出的猜想(b)是成立的。第四章给出了蕴含正交矩阵的一种构造方法,进而给出蕴含正交矩阵的一些充分或必要条件。