对于一个高维复杂系统,小质量极限是一个具有重要意义的新课题。它不仅可以降低系统的维度,提高计算效率,而且对于一个只能获得位置信息的微观系统,是必要的近似过程。另一方面,在随机采样算法中经典的基于Langevin动力学的采样算法和Metropolis-Hastings算法满足细致平衡条件,其收敛速度受到限制。因此设计不满足细致平衡条件的Langevin采样算法和Metropolis-Hastings算法以提高算法的收敛速度具有重要理论和应用价值。针对大数据机器学习问题,基于哈密尔顿体系的随机梯度算法从数据中自适应地学习算法参数,而不是人为预设参数可以提高算法的采样准确度。这两者都是随机采样算法中未解决的问题。我们研究的高维系统的小质量极限过程为解决上述问题提供了理论基础和实现框架。一.首先利用后向Kolmogorov方程的均质化技巧,我们独立且完整地推导出小质量极限方程中新的“伪”漂移项——由噪声和环流引起的额外漂移项,其在极限方程中的出现保证慢速变量的稳态分布（如果存在）服从Boltzmann-Gibbs分布,特别地,发现一维小质量极限对应着反伊藤随机积分解释。二.然后我们使用平均首次穿越时间方法先后计算一维系统里强摩擦力（常数和依赖位置变量的函数）和小质量极限下不同随机积分的逃逸速率。发现在小质量极限下,反伊藤积分能得到正确的逃逸速率公式。基于强摩擦力与小质量极限的等价性,证明了小质量极限过程推导是正确的。对于高维的简化系统,利用随机过程的大偏差理论,我们计算发现小质量极限方程中势函数与FreidlinWentzell最小作用量泛函之间存在简单关系。并得到逃逸路径以及逃逸速率公式,讨论了“伪”漂移项在逃逸速率公式可能起到的作用。利用计算逃逸速率进一步理解小质量极限过程。三.进一步基于概率流的概念,我们分析证明了小质量极限方程不满足细致平衡条件。所以结合黎曼流形,针对贝叶斯模型中的参数学习问题,设计出不可逆Langevin蒙特卡洛算法,并进一步利用“举”思想创造性地实现了满足非细致平衡（Skew Detailed Balance）条件的Metropolis-Hastings算法。与可逆Metropolis-Hastings算法相比,由于其发挥了构造的随机过程的不可逆特性,其收敛速度有明显提高。四.最后将实现的不可逆Langevin蒙特卡洛算法扩展到大数据的机器学习场景中。提出基于不可逆随机梯度黎曼Langevin动力学采样算法的框架及其扩展。实现了自适应方差受控的随机梯度黎曼哈密尔顿蒙特卡洛算法及其对称分离的高阶数值积分改进算法。提高了算法的采样准确度。我们以高维小质量极限问题为切入点。在严格推导出它的极限方程和计算其逃逸速率问题后,利用它不满足细致平衡条件的特性,设计了新的基于Langevin动力学的采样算法。针对该算法的离散化误差,实现了不可逆Metropolis-Hastings算法。最后将基于Langevin动力学的采样算法扩展到大数据机器学习场景中,提高了现有算法的性能。数据实例支持小质量极限过程的推导结果和相关算法的设计。