2009年,Chartrand, Okamoto, Zhang提出了k-彩虹连通.令G是一个非平凡的连通图,在G上定义一个边着色c:E(G)→{1,2,...,k},k∈EN图G的一个树是彩虹的,如果这个树上的边分别着不同的颜色.使得对图中任意k个顶点构成的集合S都存在一个连接它的彩虹树T(S (?) V(T))的着色称为是k-彩虹着色,k-彩虹着色中使用的最少的着色数称为k-彩虹指标,记为rxk(G)本文对3-彩虹指标,进行了相关问题研究.全文共分为六个部分.第一部分简单介绍了研究问题的背景与现状,论文的结构和主要结论.第二部分给出了本文所需的概念和符号以及证明中用到的预备知识.第三部分主要研究图的3-彩虹指标的上界.该部分首先借助于图的控制集界定n阶连通图G的3-彩虹指标,并利用它证明了完全二部图KS,t{3≤s≤t)的3-彩虹指标的紧的上界.并且,对其它完全二部图K2,t,南我们使用棋盘法得到3-彩虹指标的精确值.其次,我们得到对于无(P5,C5)且最小度大于等于3的n阶连通图G的上界.另外,利用2-连通图的3-彩虹指标的研究成果,证明了一般图G的3-彩虹指标的上界,且得到了紧的实例.第四部分主要研究图的运算的3-彩虹指标.该部分得到了图的卡式积,字典积,强积,联图,图的顶点分裂和边的收缩运算的3-彩虹指标与对应原图的指标的关系表达式,并且,对于图的卡式积运算,证明了达到上界时的充分条件.第五部分主要探究了分裂图的3-彩虹着色.该部分对于分裂图G,通过一个算法得到了它的几乎最优的3-彩虹着色.此算法是在对分裂图的3-彩虹着色特征分析的基础上,构造出了分裂图的3-彩虹着色,并且证明了该着色使用了rx3(G)+2或rx3(G)+3种颜色.第六部分是本文的结束语,对本文进行了概括性总结和未来的展望.