本文对几类特殊重要的自相似网络的谱性质及其在生成树、随机游走或陷阱问题中的应用进行了研究。大量的文献表明网络的特征谱与网络的拓扑性质密切相关,而生成树、随机游走和陷阱问题在诸多领域应用广泛。首先本文研究了Vicsek分形。这是规则分形网络中非常重要的一类分形。我们先研究了Vicsek分形上单个陷阱固定在中央节点时的陷阱问题,给出了平均陷阱时间的闭合形式解。之后我们假设陷阱以等概率的方式随机分布在Vicsek分形的任意一个节点上,并根据平均首达时间、网络电阻和Laplacian矩阵特征值之间的关系,求出了全局平均首达时间的精确解,结果表明该参数关于网络节点数超线性增长。接下来本文研究了Koch网络上的Laplacian谱,该网络同时具有无标度和小世界性质。根据不同阶段的Koch网络及其子网络的Laplacian矩阵的特征多项式之间的关系,我们计算出了Koch网络的Laplacian矩阵的非零特征值的乘积与倒数和。利用上述结果,我们求出了Koch网络上的生成树数目、Kirchhoff指数、全局平均首达时间和平均路径长度。然后本文研究了扩展T分形上的陷阱问题。我们先求出了其陷阱问题关联矩阵的全部特征值及重数,其中特征值通过一个显式的递推关系式给出,并据此得到了最小特征值和平均陷阱时间的近似解。之后我们在上述无向无权网络中引入受一个参数控制的非对称非负边权。利用类似的方法,我们求出了这个新的有向加权网络上的最小特征值和平均陷阱时间的表达式。结果表明平均陷阱时间完全由上述参数控制：通过调节参数,平均陷阱时间可以是系统规模的亚线性、线性或超线性函数。因此本项研究为控制分形网络上的陷阱效率提供了一种有效方法。最后本文通过递归枚举子图的方法求出了Apollonian网络上的生成树数目和生成树熵。Apollonian网络隶属于极大平面图,并同时具备小世界、无标度、模块化和高集聚系数等特征,因此这项研究非常必要。另外该研究还能帮助我们在未来找到直接分析计算Apollonian网络的Laplacian矩阵的特征谱的方法。