经过约60年的发展，有限元法已经成为工程和科学领域中主要的数值计算方法之一。但它并不是完美无缺的。例如，广泛使用的传统等参元在不少情况下对网格畸变极其敏感，导致精度急剧下降，甚至不能工作。针对这一难题，很多学者付出努力，研究如何提高单元的抗畸变性能和精度，极大地推动了有限元的进步。但是现有的单元模型或多或少存在一些局限性，使得问题并没有得到根治。本文旨在深化探索形状自由（Shape-free）的有限元单元格式。这类单元采用弹性力学问题的基本解析解为试函数（解析试函数法），能克服各种网格畸变而且能保证精度，单元形状非常自由，可以大幅度地缓解网格划分的压力，即使网格极端不规则亦能得到较好的精度。论文的主要工作包括：首先，在已有成果的基础上，系统推导了平面各向异性弹性力学问题、三维各向同性弹性力学问题的基本解析解。它们均为完备和独立的低阶笛卡尔坐标多项式序列，适合作为有限元的解析试函数。其次，利用各向异性弹性力学平面问题的基本解析解作为解析试函数，将课题组原有的平面各向同性8和12结点杂交应力函数单元HSF-Q8和HSF-Q12，推广应用于平面各向异性问题，构造了新单元SF8(15)和SF12(23)。它们在克服网格畸变敏感方面体现出了优异的性能，只要单元边界保持为直边，就可以克服任意凸凹四边形形状严重畸变，是一类形状自由的单元。第三，将解析试函数法和广义协调元理论与非对称有限元技术相结合，构造出了一种比原非对称8结点单元US-QUAD8和杂交应力函数单元HSF-Q8性能更优越的平面8结点非对称解析试函数单元US-ATFQ8。新单元具备了US-QUAD8和HSF-Q8的全部抗畸变优点，并且成功克服US-QUAD8的插值失败和方向性问题，以及HSF-Q8抗曲边畸变和边中点畸变效果不佳的问题。特别令人惊奇的是，除线性和二阶位移问题外，US-ATFQ8单元还可以得到三阶位移问题的精确解，这是其他所有8结点单元无法做到的。单元US-ATFQ8是一种真正的形状自由单元。最后，本文尝试将平面问题的成功经验推广到意义更大的三维问题，试图构造三维20结点杂交应力函数单元HSF-3D20和非对称单元US-ATF3D20。但是，三维问题比平面问题更加复杂，会遇到许多新的技术问题，所构造的单元尚未达到理想的效果。这些问题还需进一步研究解决。