平面向量是高中数学的新增内容，也是高考的热点内容.它融数、形于一体.以向量为背景，可深入了解数学教材中新增内容与传统内容的内部联系，构建合理的知识结构；以向量为工具，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广阔的空间.
　　 平面向量将几何知识和代数知识有机地结合在一起，主要渗透于函数、不等式、三角、数列、立体几何、解析几何等主干知识中，有其广泛的应用.
　　
　　 一、 平面向量在函数中的渗透
　　
　　 向量与函数的结合，是以向量为载体来考查函数的，所以本质上仍然是函数题.
　　 已知向量，，， 及实数ｘ，ｙ 满足｜｜ ＝ ｜｜ ＝ １，＝ ＋ （ｘ２ － ３） ，ｄ ＝ －ｙ＋ ｘ ， 若 ⊥ ，⊥ ，且｜ ｜≤ ．
　　
　　６恒成立, 亦即使ｘ２ ＋ ≥ ｍ ＋ ３恒成立. 令ｇ（ｘ） ＝ ｘ２ ＋,
　　
　　 二、 平面向量在三角函数中的渗透
　　
　　 某些三角函数问题通常以向量的形式出现．
　　 已知Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为Ａ（４，０），Ｂ（０，４），Ｃ（３ｃｏｓα，３ｓｉｎα）.
　　 （１）若α?缀（－π，０），且｜ ｜ ＝ ｜｜，求角α的值．
　　 （２）若• ＝ ０，求的值．
　　 解（１）＝ （３ｃｏｓα － ４，３ｓｉｎα）， ＝（３ｃｏｓα，３ｓｉｎα － ４）.
　　
　　 三、 向量在不等式中的渗透
　　
　　 在某些情况下可以通过构造相应的向量来证明不等式．
　　 设ｘ，ｙ?缀Ｒ，且ｘ ＋ ｙ ＝ １，求证（ｘ ＋ ２）２ ＋ （ｙ ＋ ２）２ ≥．
　　 证明设 ＝ （ｘ ＋ ２，ｙ ＋ ２）， ＝ （１，１） ， 与 的夹角为θ（０≤ θ ≤ π），
　　
　　 四、 平面向量在解析几何中的渗透
　　
　　 如图所示，已知△ＯＦＱ的面积为Ｓ，且 与 的数量积等于１． （１）若＜ Ｓ ＜ ２，求向量 与 的夹角θ的取值范围．
　　 （２）设｜ ｜ ＝ ｃ（ｃ ≥ ２），Ｓ ＝ｃ， 若以Ｏ为中心，Ｆ为焦点的椭圆经过点Ｑ ，当｜ ｜取得最小值时， 求此椭圆的方程．
　　
　　 （２）以Ｏ为原点， 所在直线为ｘ轴建立直角坐标系．
　　 设椭圆方程为＋ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０），点Ｑ（ｘ１，ｙ１），则 ＝ （ｘ１ － ｃ，ｙ１）．
　　 ∵ Ｓ△ＯＦＱ ＝ ｜ ｜ • ｜ｙ１｜ ＝ｃ ，∴ ｜ ｙ１｜ ＝．
　　又 由｜ ｜ • ｜ ｜ ＝ １，得ｘ１ ＝ c ＋
　　 ｜ ｜ ＝＝（ｃ ≥ ２），
　　 记ｆ（ｃ） ＝ c ＋，则ｆ ′（ｃ） ＝ １ － .
　　 当ｃ ≥ ２时， ｆ ′（ｃ） ＞ ０，∴ ｆ（ｃ）在［２， ＋ ∞）上递增；
　　 当ｃ ＝ ２时， ｜ ｜最小． 此时Ｑ点的坐标为 ，或 ，- ． 由此＋ ＝ １．
　　又 ａ２ － ｂ２ ＝ ４，得ａ２ ＝ １０，ｂ２ ＝ ６．
　　 故所求的椭圆方程为 ＋ ＝ １．
　　
　　 五、 向量在立体几何中的渗透
　　
　　 两个向量共线、平行、垂直的充要条件是解决几何中共线、共点、垂直、平行等问题的有效途径；而向量的数量积的性质ｃｏｓθ ＝是求几何量长度和角度的重要工具．
　　 如图，已知ＡＢＣＤ是矩形，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ， Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＰＣ的中点，ＰＡ ＝ ２，ＰＤ ＝ ＡＢ，且平面 ＭＮＤ ⊥平面ＰＣＤ．
　　 （１）求证：ＭＮ⊥ＡＢ．
　　 （２）求二面角Ｐ － ＣＤ － Ａ的大小.
　　 （３）求三棱锥Ｄ － ＡＭＮ的体积．
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”