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关于命题的试题常以考查基本概念、性质及与其它知识相结合的形式出现，难度不会很高，只要我们在学习中夯实基础，针对不同试题的考查形式，应用不同的求解策略，就能化难为易，化繁为简，顺利求解. 下面通过几道典型例题的解析，来帮助同学们加深对这部分内容的理解．
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
（1）张三考100分，是好学生；
（2）对顶角难道不相等吗？
（3）求证[2]不是无理数．
解析 （1）不是命题；（2）是真命题；（3）不是命题.
点评 命题是可以判断真假的语句，不管这个语句是陈述句还是疑问句，只要能判断真假就是命题，否则便不是命题．（1）中，成绩好不是判定好学生的唯一标准，这个表述无法判断真假. （2）虽是疑问句，但能判断真假，所以是命题. （3）是祈使句，无法判断真假，所以不是命题．能判断真假的陈述句、反问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．
例2 已知[a>0，]则[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]的充要条件是（ ）
A. [∃x∈R, 使得12ax2-bx≥12ax20-bx0]
B. [∃x∈R, 使得12ax2-bx≤12ax20-bx0]
C. [∀x∈R, 使得12ax2-bx≥12ax20-bx0]
D. [∀x∈R, 使得12ax2-bx≤12ax20-bx0]
解析 函数[y=12ax2-bx=][12a(x-ba)2-b22a]，由于[a>0,]因此函数对应的抛物线开口向上．当[x=ba]时，[y]取得最小值[-b22a]．因为[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]，所以[x0=ba]，则[12ax02-bx0=-b22a]，那么对于任意的[x∈R]，都有[y=12ax2-bx≥-b22a][=12ax20-bx0.]
答案 C
例3 命题：等腰三角形是直角三角形．写出该命题的否定形式．
解析 这个命题虽然没有明显的关键词“所有”，但从语意上分析，可知它所研究的对象不是一个个体，而是所有的等腰三角形，所以这是一个全称命题，它的完整形式应该是“所有的等腰三角形都是直角三角形”．所以它的否定形式应该是“有的等腰三角形不是直角三角形”．如果将原命题改为：“等腰[△ABC]是直角三角形”，显然它所研究的对象仅是一个个体，那么它的否定形式就可以写成“等腰[△ABC]不是直角三角形”．
答案 有的等腰三角形不是直角三角形．
点评 写命题[p]的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清楚一个命题研究的对象是个体还是全体. 如果研究的对象是个体，只需将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”；如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要进一步分清命题是全称命题还是存在性命题．现将常见关键词及其否定形式总结如下表：
例4 设命题[p：|4x-3|≤1]；命题[q：][x2-(2a+1)x+][a(a+1)≤0]．若¬[p]是¬[q]的必要而不充分条件，试确定实数[a]的取值范围．
解析 据题意知，命题[p：][12≤x≤1]；命题[q]: [a≤x≤a+1]. 由¬[p]是¬[q]的必要而不充分条件可知[q]是[p]的充分而不必要条件，即若不等式[|4x-3|≤1]的解集为[A]，不等式[x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0]的解集为[B]，则必有集合[B]是集合[A]的真子集，结合数轴可得实数[a]的取值范围是[[0,12]].
点评 关于充分（必要）条件. 在解题时要搞清楚条件和结论（划主谓宾）的关系：由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．特别的，可以从集合角度加以理解：若[A⊆B]，则[A]是[B]的充分条件；若[B⊆A]，则[A]是[B]的必要条件；若[A=B]，则[A]是[B]的充要条件.
关于四种命题及其相互关系．若原命题是“若[p]则[q]”，则逆命题为“若[q]则[p]”；否命题为“若¬[p]则¬[q]”；逆否命题为“若¬[q]则¬[p]”．在解题过程中要注意如下几点：
1. 互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假．原命题与逆命题、否命题都不等价；
2. 在写出一个含有“或”“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
3. 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“[A⇒B⇔B⇒A]”判断其真假，这也是反证法的理论依据．
【练习】
1. 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
（1）[x+1≥0]； （2）[x2+1≥0]；
（3）[A⊆A⋃B]； （4）[A⊆A⋂B]．
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. [∃x∈R,lgx=0] B. [∃x∈R,tanx=1]
C. [∀x∈R,x3>0] D. [∀x∈R,2x>0]
3. 写出命题“质数不是偶数”的否命题．
4. （1）给出下列命题：①实数[a=0]是直线[ax-2y=1]与[2ax-2y=3]平行的充要条件；②若[a,b∈R,]则[ab=0]是[a+b=a+b]成立的充要条件；③已知[x,y∈R]，“若[xy=0]，则[x=0]或[y=0]”的逆否命题是“若[x≠0]或[y≠0]，则[xy≠0]”；④“若[a]和[b]都是偶数，则[a+b]是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是 ．
（2）“[a=1]”是“函数[f(x)=|x-a|]在区间[[1,+∞)]上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（3）下列四个条件中，[p]是[q]的必要不充分条件的是（ ）
A. [p:a>b]，[q:a2>b2]
B. [p:a>b]，[q:2a>2b]
C. [p:ax2+by2=c]为双曲线，[q:ab<0]
D. [p:ax2+bx+c>0]，[q:cx2+bx+a>0]
【参考答案】
1. （1）（4）不是命题，（2）（3）是真命题． 2. C
3. 若一个数不是质数，则这个数是偶数. （此题易把“质数是偶数”作为原命题的否命题，即将“命题的否定与否命题”这两个不同的概念混淆在一起了.注意区分两个概念）
4. （1）①④ （2）A （3）D（A中p不是q的充分条件，也不是必要条件；B中p是q的充要条件；C中p是q的充分条件，不是必要条件）
例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
（1）张三考100分，是好学生；
（2）对顶角难道不相等吗？
（3）求证[2]不是无理数．
解析 （1）不是命题；（2）是真命题；（3）不是命题.
点评 命题是可以判断真假的语句，不管这个语句是陈述句还是疑问句，只要能判断真假就是命题，否则便不是命题．（1）中，成绩好不是判定好学生的唯一标准，这个表述无法判断真假. （2）虽是疑问句，但能判断真假，所以是命题. （3）是祈使句，无法判断真假，所以不是命题．能判断真假的陈述句、反问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．
例2 已知[a>0，]则[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]的充要条件是（ ）
A. [∃x∈R, 使得12ax2-bx≥12ax20-bx0]
B. [∃x∈R, 使得12ax2-bx≤12ax20-bx0]
C. [∀x∈R, 使得12ax2-bx≥12ax20-bx0]
D. [∀x∈R, 使得12ax2-bx≤12ax20-bx0]
解析 函数[y=12ax2-bx=][12a(x-ba)2-b22a]，由于[a>0,]因此函数对应的抛物线开口向上．当[x=ba]时，[y]取得最小值[-b22a]．因为[x0]满足关于[x]的方程[ax=b]，所以[x0=ba]，则[12ax02-bx0=-b22a]，那么对于任意的[x∈R]，都有[y=12ax2-bx≥-b22a][=12ax20-bx0.]
答案 C
例3 命题：等腰三角形是直角三角形．写出该命题的否定形式．
解析 这个命题虽然没有明显的关键词“所有”，但从语意上分析，可知它所研究的对象不是一个个体，而是所有的等腰三角形，所以这是一个全称命题，它的完整形式应该是“所有的等腰三角形都是直角三角形”．所以它的否定形式应该是“有的等腰三角形不是直角三角形”．如果将原命题改为：“等腰[△ABC]是直角三角形”，显然它所研究的对象仅是一个个体，那么它的否定形式就可以写成“等腰[△ABC]不是直角三角形”．
答案 有的等腰三角形不是直角三角形．
点评 写命题[p]的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清楚一个命题研究的对象是个体还是全体. 如果研究的对象是个体，只需将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”；如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要进一步分清命题是全称命题还是存在性命题．现将常见关键词及其否定形式总结如下表：
例4 设命题[p：|4x-3|≤1]；命题[q：][x2-(2a+1)x+][a(a+1)≤0]．若¬[p]是¬[q]的必要而不充分条件，试确定实数[a]的取值范围．
解析 据题意知，命题[p：][12≤x≤1]；命题[q]: [a≤x≤a+1]. 由¬[p]是¬[q]的必要而不充分条件可知[q]是[p]的充分而不必要条件，即若不等式[|4x-3|≤1]的解集为[A]，不等式[x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0]的解集为[B]，则必有集合[B]是集合[A]的真子集，结合数轴可得实数[a]的取值范围是[[0,12]].
点评 关于充分（必要）条件. 在解题时要搞清楚条件和结论（划主谓宾）的关系：由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．特别的，可以从集合角度加以理解：若[A⊆B]，则[A]是[B]的充分条件；若[B⊆A]，则[A]是[B]的必要条件；若[A=B]，则[A]是[B]的充要条件.
关于四种命题及其相互关系．若原命题是“若[p]则[q]”，则逆命题为“若[q]则[p]”；否命题为“若¬[p]则¬[q]”；逆否命题为“若¬[q]则¬[p]”．在解题过程中要注意如下几点：
1. 互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假．原命题与逆命题、否命题都不等价；
2. 在写出一个含有“或”“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；
3. 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“[A⇒B⇔B⇒A]”判断其真假，这也是反证法的理论依据．
【练习】
1. 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
（1）[x+1≥0]； （2）[x2+1≥0]；
（3）[A⊆A⋃B]； （4）[A⊆A⋂B]．
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. [∃x∈R,lgx=0] B. [∃x∈R,tanx=1]
C. [∀x∈R,x3>0] D. [∀x∈R,2x>0]
3. 写出命题“质数不是偶数”的否命题．
4. （1）给出下列命题：①实数[a=0]是直线[ax-2y=1]与[2ax-2y=3]平行的充要条件；②若[a,b∈R,]则[ab=0]是[a+b=a+b]成立的充要条件；③已知[x,y∈R]，“若[xy=0]，则[x=0]或[y=0]”的逆否命题是“若[x≠0]或[y≠0]，则[xy≠0]”；④“若[a]和[b]都是偶数，则[a+b]是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是 ．
（2）“[a=1]”是“函数[f(x)=|x-a|]在区间[[1,+∞)]上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
（3）下列四个条件中，[p]是[q]的必要不充分条件的是（ ）
A. [p:a>b]，[q:a2>b2]
B. [p:a>b]，[q:2a>2b]
C. [p:ax2+by2=c]为双曲线，[q:ab<0]
D. [p:ax2+bx+c>0]，[q:cx2+bx+a>0]
【参考答案】
1. （1）（4）不是命题，（2）（3）是真命题． 2. C
3. 若一个数不是质数，则这个数是偶数. （此题易把“质数是偶数”作为原命题的否命题，即将“命题的否定与否命题”这两个不同的概念混淆在一起了.注意区分两个概念）
4. （1）①④ （2）A （3）D（A中p不是q的充分条件，也不是必要条件；B中p是q的充要条件；C中p是q的充分条件，不是必要条件）