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摘 要：初中数学教学不仅是对数学知识进行教学，还是对数学思想方法的教学。文章作者认为，教师在教学中可从两方面入手：一方面，通过数学思想的渗透，启发、帮助学生发现和认识教科书中阐述的数学方法，使数学教学不是单纯的知识灌输，而是使这些方法成为分析问题和解决问题的有力工具，做到自然而然地掌握和运用;另一方面，通过对数学方法的掌握，进一步了解隐含于其中的数学思想，认识到具体事物的本质，从而逐步掌握科學的思想方法。
关键词：初中数学思考;方程思想;分类思想;数形结合思想
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）23-0051-02
初中数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”，突出数学思想方法的教学，是当代数学教育的必然要求。
数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。初中数学学科具有其自身的思想方法，它所体现出来的数学思想主要是指方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类思想、集合思想、统计思想等。数学思想具有本质性、概要性、指导性的意义，是人们分析、解决数学学科问题过程中思维活动的导航器。数学方法是人们学习、应用数学知识的思维策略或模式。数学思想和数学方法有密切的联系，思想是内含的，方法是外显的，思想融于知识中，通过方法来表现，方法的内核是思想，它以思想为指导，又可升华为思想。数学思想和方法隐含于现成的结论和说明中，这就需要我们在教学中，不能只停留在对教材表现的结论和说明的表述上，不能只盯住解题、做题，而应向学生传授数学思想方法，提高他们分析和处理问题的能力。下面主要介绍初中数学中几种重要的数学思想和方法。
一、方程思想
所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（方程组），再通过解方程（组）使问题得以解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，其应用十分广泛。解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数;其次，适当选择一个或几个未知量用x（或y， z……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系;再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。
例1：在直角三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，且CD=3，BD=5，∠C=90°，求AC的长。
教师通过此题可以向学生介绍，如何利用勾股定理列方程，即传授方程思想。
又如，一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，求这个角。
解析：先设这个角为x 度，则根据题意，得到关于x 的方程：
90°﹣x + 20°=1/3 （180°﹣x ）
解得 x=75°。
运用方程思想，这类问题就会变得简单明了。
二、分类思想
所谓分类思想，一般是指解决问题时，将错综复杂的若干问题，按逻辑学规律，将问题逐一梳理规划，排列分类，采用不同的方式分析研究的一种正向思维。
在运用分类思想处理问题的关键是把握分类的标准，保证分类的科学性和合理性，分类要达到互斥、不漏、不重、最简的要求。
运用分类思想解题的过程中，要同中求不同（一个命题分成几种不同的类型）;不同中求同（几种不同类型的研究结果综合成命题的一个完整答案）。
在解题时，根据已知条件和题设的要求，分不同的情况做出符合题意的严谨、周密的解答。
例2：已知三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
分析：本题是要考查分类思想方法，解题中要对周长小于13的整数分别讨论，同时还要注意隐含条件“三角形两边之和大于第三边”，从而根据不同情况对问题做出全面解答，结果是以5、4、3和5、4、2及4、3、2为边的三角形符合条件，故选B。
在分类的时候，教师应鼓励学生按多种类别分类，并进行讨论交流，这样，一方面可给学生提供主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态;另一方面可培养学生思维的灵活性，加速体现分类的思想方法。在平时的训练中，我们要多通过这类题向学生传授分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。
三、数形结合思想
数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕数与形展开的。初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图像、曲线等形象的表达式。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”与直观的图像“形”结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化。数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，化形象为直观，从而解决数学问题，这是一种重要的数学思想方法。数形结合思想是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用。 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图像对应，均体现了数形结合思想的应用。再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，可以显著降低學习难度。
例3：在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1，2）、（-2，1）、（-1，-2），求点D的坐标。
分析：依题意画图，可看到点A、点C关于原点O成中心对称，所以O应是正方形ABCD的中心。根据正方形性质可知，点D应与点B关于原点O对称，已知点B坐标为（-2，1），利用关于坐标原点对称的两点坐标之间的关系，可确定点D坐标（2，-1）。
解：略。
说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合创造了条件。本题就是利用直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。
四、转化思想
所谓转化思想就是通过一定的手段和方法，把复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化，从而获得解决问题的转机。转化思想在数学教学中是贯穿始终的，它是创造思维的核心。初中数学中涉及最多的是转化思想。解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段逐渐转变成一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。
比如，利用转化思想解二元一次方程组、三元一次方程组实质就是将之化为已经学过的一元一次方程来解。如果把若干个人之间握手总次数（单握）称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线;共端点射线夹角（小于平角的角）个数;一条线段上有若干个点形成的线段的条数;足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。
再如，我们前面提到的各种多元方程、高次方程，利用“消元”“降次”等方法，最终都可以把它们转化成一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步骤或公式把它们解决。
转化思想，是解题的最重要的思维习惯。在初中数学中，转化思想运用得最为广泛。面对难题，面对没有见过的题，“转化”思想，也总是能够“转化”的。平时，学生要多留心教师是怎样解题的，是怎样“化难为易、化繁为简、化未知为已知”的。同学之间也应多交流交流成功转化的体会，深入理解“转化”的真正含义，切实掌握“转化”的思维和技巧。
总之，初中数学中用到的各种方法都体现着一定的数学思想，它可以开拓解题思路，有助于设计最佳的解题方案，从而较快地找到解决问题的途径，提高学习效果。当然，数学教材中还蕴含着其他一些常用的数学思想。比如，从特殊到一般、类比联想、换元、数式通性的思想、统计思想等。数学思想方法的教学研究是中学数学教研的一个重要课题，是提高教学质量的关键。在数学教学中，教师要切实把握好数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平，从初中开始有计划、有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生学习效率的法宝，促进学生的数学能力发展。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社， 2012.
[2]严永进，乐 锦.初中数学创新解题18法[M].沈阳：辽宁教育出版社，2000.
作者简介：毕宝清（1977— ）， 男，河北大城人，中学一级教师，本科，教务副主任，研究方向：初中数学教学。
关键词：初中数学思考;方程思想;分类思想;数形结合思想
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）23-0051-02
初中数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”，突出数学思想方法的教学，是当代数学教育的必然要求。
数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。初中数学学科具有其自身的思想方法，它所体现出来的数学思想主要是指方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类思想、集合思想、统计思想等。数学思想具有本质性、概要性、指导性的意义，是人们分析、解决数学学科问题过程中思维活动的导航器。数学方法是人们学习、应用数学知识的思维策略或模式。数学思想和数学方法有密切的联系，思想是内含的，方法是外显的，思想融于知识中，通过方法来表现，方法的内核是思想，它以思想为指导，又可升华为思想。数学思想和方法隐含于现成的结论和说明中，这就需要我们在教学中，不能只停留在对教材表现的结论和说明的表述上，不能只盯住解题、做题，而应向学生传授数学思想方法，提高他们分析和处理问题的能力。下面主要介绍初中数学中几种重要的数学思想和方法。
一、方程思想
所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（方程组），再通过解方程（组）使问题得以解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，其应用十分广泛。解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数;其次，适当选择一个或几个未知量用x（或y， z……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系;再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。
例1：在直角三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，且CD=3，BD=5，∠C=90°，求AC的长。
教师通过此题可以向学生介绍，如何利用勾股定理列方程，即传授方程思想。
又如，一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，求这个角。
解析：先设这个角为x 度，则根据题意，得到关于x 的方程：
90°﹣x + 20°=1/3 （180°﹣x ）
解得 x=75°。
运用方程思想，这类问题就会变得简单明了。
二、分类思想
所谓分类思想，一般是指解决问题时，将错综复杂的若干问题，按逻辑学规律，将问题逐一梳理规划，排列分类，采用不同的方式分析研究的一种正向思维。
在运用分类思想处理问题的关键是把握分类的标准，保证分类的科学性和合理性，分类要达到互斥、不漏、不重、最简的要求。
运用分类思想解题的过程中，要同中求不同（一个命题分成几种不同的类型）;不同中求同（几种不同类型的研究结果综合成命题的一个完整答案）。
在解题时，根据已知条件和题设的要求，分不同的情况做出符合题意的严谨、周密的解答。
例2：已知三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ）。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
分析：本题是要考查分类思想方法，解题中要对周长小于13的整数分别讨论，同时还要注意隐含条件“三角形两边之和大于第三边”，从而根据不同情况对问题做出全面解答，结果是以5、4、3和5、4、2及4、3、2为边的三角形符合条件，故选B。
在分类的时候，教师应鼓励学生按多种类别分类，并进行讨论交流，这样，一方面可给学生提供主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态;另一方面可培养学生思维的灵活性，加速体现分类的思想方法。在平时的训练中，我们要多通过这类题向学生传授分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。
三、数形结合思想
数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕数与形展开的。初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图像、曲线等形象的表达式。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”与直观的图像“形”结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化。数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，化形象为直观，从而解决数学问题，这是一种重要的数学思想方法。数形结合思想是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用。 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图像对应，均体现了数形结合思想的应用。再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，可以显著降低學习难度。
例3：在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1，2）、（-2，1）、（-1，-2），求点D的坐标。
分析：依题意画图，可看到点A、点C关于原点O成中心对称，所以O应是正方形ABCD的中心。根据正方形性质可知，点D应与点B关于原点O对称，已知点B坐标为（-2，1），利用关于坐标原点对称的两点坐标之间的关系，可确定点D坐标（2，-1）。
解：略。
说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合创造了条件。本题就是利用直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。
四、转化思想
所谓转化思想就是通过一定的手段和方法，把复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化，从而获得解决问题的转机。转化思想在数学教学中是贯穿始终的，它是创造思维的核心。初中数学中涉及最多的是转化思想。解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段逐渐转变成一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决。
比如，利用转化思想解二元一次方程组、三元一次方程组实质就是将之化为已经学过的一元一次方程来解。如果把若干个人之间握手总次数（单握）称为“握手问题”，那么像无三点共线的n个点之间连线;共端点射线夹角（小于平角的角）个数;一条线段上有若干个点形成的线段的条数;足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。
再如，我们前面提到的各种多元方程、高次方程，利用“消元”“降次”等方法，最终都可以把它们转化成一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步骤或公式把它们解决。
转化思想，是解题的最重要的思维习惯。在初中数学中，转化思想运用得最为广泛。面对难题，面对没有见过的题，“转化”思想，也总是能够“转化”的。平时，学生要多留心教师是怎样解题的，是怎样“化难为易、化繁为简、化未知为已知”的。同学之间也应多交流交流成功转化的体会，深入理解“转化”的真正含义，切实掌握“转化”的思维和技巧。
总之，初中数学中用到的各种方法都体现着一定的数学思想，它可以开拓解题思路，有助于设计最佳的解题方案，从而较快地找到解决问题的途径，提高学习效果。当然，数学教材中还蕴含着其他一些常用的数学思想。比如，从特殊到一般、类比联想、换元、数式通性的思想、统计思想等。数学思想方法的教学研究是中学数学教研的一个重要课题，是提高教学质量的关键。在数学教学中，教师要切实把握好数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平，从初中开始有计划、有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生学习效率的法宝，促进学生的数学能力发展。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社， 2012.
[2]严永进，乐 锦.初中数学创新解题18法[M].沈阳：辽宁教育出版社，2000.
作者简介：毕宝清（1977— ）， 男，河北大城人，中学一级教师，本科，教务副主任，研究方向：初中数学教学。