论文部分内容阅读
一、聚焦考纲
1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系.
2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示.
3.理解变换的复合与矩阵的乘法，理解二阶矩阵的乘法和简单性质.
4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵.
5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
二、知识梳理
1.矩阵的乘法规则
（1）行矩阵[a11a12]与列矩阵b11
b21的乘法规则：[a11a12]b11
b21=a11×b11 a12×b21.
（2）二阶矩阵a11a12
a21a22与列向量x0
y0的乘法规则：a11a12
a21a22x0
y0=a11×x0 a12×y0
a21×x0 a22×y0.
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A（λα）=λAα;②A（α β）=Aα Aβ;③A（λ1α λ2β）=λ1Aα λ2Aβ.
（3）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
a11a12
a21a22b11b12
b21b22
=a11×b11 a12×b21a11×b12 a12×b22
a21×b11 a22×b21a21×b12 a22×b22.
性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律;②矩阵的乘法满足结合律，即（AB）C=A（BC）;③矩阵的乘法不满足消去律.
2.矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵B是唯一的，通常记A的逆矩阵为A-1，A-1=B.
（2）逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A=ab
cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩阵为
A-1=dad-bc-bad-bc
-cad-bcaad-bc.
（3）逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax by=m
cx dy=n的系数矩阵A=ab
cd可逆，
那么该方程组有唯一解x
y=ab
cd-1m
n，其中A-1=dad-bc-bad-bc
-cad-bcaad-bc.
3.二阶矩阵的特征值和特征向量
（1）特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值的一个特征向量.
（2）特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A=ab
cd的一个特征值，它的一个特征向量为ξ=x
y，则Ax
y=λx
y，即x
y满足二元一次方程组ax by=λx，
cx dy=λy，
故（λ-a）x-by=0
-cx （λ-d）y=0λ-a-b
-cλ-dx
y=0
0（*），
则（*）式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式λ-a-b
-cλ-d=0.
记f（λ）=λ-a-b
-cλ-d为矩阵A=ab
cd的特征多项式;方程λ-a-b
-cλ-d=0，
即f（λ）=0称为矩阵A=ab
cd的特征方程.
（3）特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵的特征值，则λ是特征方程f（λ）=λ-a-b
-cλ-d=λ2-（a d）λ ad=-bc=0的一个根.解这个关于λ的二元一次方程，得λ=λ1、λ2，
将λ=λ1、λ2分别代入方程组（*），分别求出它们的一个非零解x=x1，
y=y1，x=x2，
y=y2.
记ξ1=x1
y1，ξ2=x2
y2.则Aξ1=λ1ξ1、Aξ2=λ2ξ2，
因此λ1、λ2是矩阵A=ab
cd的特征值，ξ1=x1
y1，ξ2=x2
y2为矩阵的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量.
三、考点直击
“矩阵与变换”内容不多，却在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及这个的内容的主要考点有哪些呢？
1.二阶矩阵与平面向量乘法的应用
例1已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.
（1）求出矩阵M;
（2）确定点D及点C′的坐标.
分析：已知在矩阵M对应的变换作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩阵M，再由矩阵M可求出点D及C′的坐标.
解：（1）设M=ab
cd，则有ab
cd1 -21，
∴A=M-112
18=10
-2112
18=12
-14.
方法一：矩阵的特征多项式为
f（λ）=λ-1-2
1λ-4=λ2-5λ 6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.
当λ1=2时，得α1=2
1;当λ2=3时，得α2=1
1.
又α=-2α1 α2，∴A2α=A2（-2α1 α2）=-2A2α1 A2α2=-2λ21α1 λ22α2=-232
1 321
1=-7
1.
方法二：A2=12
-1412
-14=-110
-514，∴A2α=-110
-514-3
-1=-7
评注：（1）设A是一个二阶矩阵，α是矩阵的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα=λnα（n∈N*）.（2）设λ1，λ2是二阶矩阵的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α=t1ξ1 t2ξ2（其中t1，t2为实数），则对任意的正整数n，有Anα=t1λn1ξ1 t2λn2ξ2.（3）对于求解Anα的问题，一般可利用矩阵的特征值求特征向量来解决，对n较小的情况，也可直接采用矩阵乘法来解决.
四、规律总结
1.矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等.
2.矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律.
3.对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换.
4.伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合.
5.逆矩阵的求法常用待定系数法.
6.若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有（AB）-1=B-1A-1，若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB=AC时，有B=C，即此时矩阵乘法的消去律成立.
7.求Mnα，一般都是先求出矩阵M的特征值与特征向量，将α写成t1α1 t2α2.利用性质Mnα=t1λn1α1 t2λn2α2求解.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）
1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系.
2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示.
3.理解变换的复合与矩阵的乘法，理解二阶矩阵的乘法和简单性质.
4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵.
5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
二、知识梳理
1.矩阵的乘法规则
（1）行矩阵[a11a12]与列矩阵b11
b21的乘法规则：[a11a12]b11
b21=a11×b11 a12×b21.
（2）二阶矩阵a11a12
a21a22与列向量x0
y0的乘法规则：a11a12
a21a22x0
y0=a11×x0 a12×y0
a21×x0 a22×y0.
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A（λα）=λAα;②A（α β）=Aα Aβ;③A（λ1α λ2β）=λ1Aα λ2Aβ.
（3）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：
a11a12
a21a22b11b12
b21b22
=a11×b11 a12×b21a11×b12 a12×b22
a21×b11 a22×b21a21×b12 a22×b22.
性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律;②矩阵的乘法满足结合律，即（AB）C=A（BC）;③矩阵的乘法不满足消去律.
2.矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵B是唯一的，通常记A的逆矩阵为A-1，A-1=B.
（2）逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A=ab
cd（detA=ad-bc≠0），它的逆矩阵为
A-1=dad-bc-bad-bc
-cad-bcaad-bc.
（3）逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax by=m
cx dy=n的系数矩阵A=ab
cd可逆，
那么该方程组有唯一解x
y=ab
cd-1m
n，其中A-1=dad-bc-bad-bc
-cad-bcaad-bc.
3.二阶矩阵的特征值和特征向量
（1）特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值的一个特征向量.
（2）特征多项式与特征方程
设λ是二阶矩阵A=ab
cd的一个特征值，它的一个特征向量为ξ=x
y，则Ax
y=λx
y，即x
y满足二元一次方程组ax by=λx，
cx dy=λy，
故（λ-a）x-by=0
-cx （λ-d）y=0λ-a-b
-cλ-dx
y=0
0（*），
则（*）式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式λ-a-b
-cλ-d=0.
记f（λ）=λ-a-b
-cλ-d为矩阵A=ab
cd的特征多项式;方程λ-a-b
-cλ-d=0，
即f（λ）=0称为矩阵A=ab
cd的特征方程.
（3）特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵的特征值，则λ是特征方程f（λ）=λ-a-b
-cλ-d=λ2-（a d）λ ad=-bc=0的一个根.解这个关于λ的二元一次方程，得λ=λ1、λ2，
将λ=λ1、λ2分别代入方程组（*），分别求出它们的一个非零解x=x1，
y=y1，x=x2，
y=y2.
记ξ1=x1
y1，ξ2=x2
y2.则Aξ1=λ1ξ1、Aξ2=λ2ξ2，
因此λ1、λ2是矩阵A=ab
cd的特征值，ξ1=x1
y1，ξ2=x2
y2为矩阵的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量.
三、考点直击
“矩阵与变换”内容不多，却在高考中占“一席之地”.那么，在高考中涉及这个的内容的主要考点有哪些呢？
1.二阶矩阵与平面向量乘法的应用
例1已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）.
（1）求出矩阵M;
（2）确定点D及点C′的坐标.
分析：已知在矩阵M对应的变换作用下A→A′，B→B′，由此可求出矩阵M，再由矩阵M可求出点D及C′的坐标.
解：（1）设M=ab
cd，则有ab
cd1 -21，
∴A=M-112
18=10
-2112
18=12
-14.
方法一：矩阵的特征多项式为
f（λ）=λ-1-2
1λ-4=λ2-5λ 6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3.
当λ1=2时，得α1=2
1;当λ2=3时，得α2=1
1.
又α=-2α1 α2，∴A2α=A2（-2α1 α2）=-2A2α1 A2α2=-2λ21α1 λ22α2=-232
1 321
1=-7
1.
方法二：A2=12
-1412
-14=-110
-514，∴A2α=-110
-514-3
-1=-7
评注：（1）设A是一个二阶矩阵，α是矩阵的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα=λnα（n∈N*）.（2）设λ1，λ2是二阶矩阵的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α=t1ξ1 t2ξ2（其中t1，t2为实数），则对任意的正整数n，有Anα=t1λn1ξ1 t2λn2ξ2.（3）对于求解Anα的问题，一般可利用矩阵的特征值求特征向量来解决，对n较小的情况，也可直接采用矩阵乘法来解决.
四、规律总结
1.矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等.
2.矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律.
3.对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换.
4.伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合.
5.逆矩阵的求法常用待定系数法.
6.若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有（AB）-1=B-1A-1，若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB=AC时，有B=C，即此时矩阵乘法的消去律成立.
7.求Mnα，一般都是先求出矩阵M的特征值与特征向量，将α写成t1α1 t2α2.利用性质Mnα=t1λn1α1 t2λn2α2求解.
（作者：王佩其，太仓市明德高级中学）